概述

蒙特卡羅方法是一種計算方法。原理是通過大量隨機樣本，去了解一個系統，進而得到所要計算的值。

它非常強大和靈活，又相當簡單易懂，很容易實現。對於許多問題來說，它往往是最簡單的計算方法，有時甚至是唯一可行的方法。它誕生於上個世紀40年代美國的"曼哈頓計劃"，名字來源於賭城蒙特卡羅，象徵概率。

π的計算

第一個例子是，如何用蒙特卡羅方法計算圓周率π。正方形內部有一個相切的圓，它們的面積之比是π/4。

現在，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個座標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。

如果這些點均勻分佈，那麼圓內的點應該佔到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。通過R語言指令碼隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。

無意識統計學家法則（Law of the unconscious statistician）

這是本文後續會用到的一個定理。作為一個預備知識，我們首先來介紹一下它。先來看一下維基百科上給出的解釋。 
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function g(X) of a 隨機變數 X when one knows the probability distribution of X

 but one does not explicitly know the distribution of g(X). The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 隨機變數 X.

• If it is a discrete distribution and one knows its PMF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is E[g(X)]=∑xg
  (x)fX(x) where the sum is over all possible values x of X.
• If it is a continuous distribution and one knows its PDF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dx

LOTUS到底表達了一件什麼事呢？它的意思是：已知隨機變數X的概率分佈，但不知道g(X)的分佈，此時用LOTUS公式能計算出函式g(X)的數學期望。LOTUS的公式如下：

• X是離散分佈時 E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
• X是連續分佈時 E[g(X)]=∫∞−

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