《演算法（第四版）》排序-----優先佇列
在實際應用中，我們常常不一定要求整個陣列全部有序，或者不需要一次就將它們排序，可能只需要當前陣列的鍵值最大的元素或最小的元素，這時就類似於總在處理下一個優先順序最高的元素，在這種情況下一個合適的資料結構應該支援兩種操作：刪除最大元素和插入元素。這種型別叫做優先佇列
實現這種資料結構的方法有兩種，一種是簡單的陣列或連結串列來實現，一種是具有高效的二叉堆來實現，在本文中我們就是採用二叉堆來實現的。
本文的目的是寫一個實現二叉堆的API，以便後續需要優先佇列的這種資料結構時使用。優先佇列最重要的操作就是刪除最大元素（或最小，其實差別就在於在less（）函式比較方向改變一下就行）和插入元素。為了保證靈活性，我們採用泛型，將實現了Comparable介面的資料型別作為引數Key。
表：泛型 優先佇列的API
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public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>>
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MaxPQ 建立一個優先佇列
MaxPQ（int max） 建立一個初始容量為max的優先佇列
MaxPQ（Key[] a） 用a[]中的元素建立一個優先佇列
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void Insert(Key v) 向優先佇列中插入一個元素
Key max() 返回最大元素
Key delMax() 刪除並返回最大元素
boolean isEmpty() 返回佇列是否為空
int size() 返回優先佇列中的元素個數
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上面的為MaxPQ的API，與MaxPQ類似，我們也可以一個MinPQ的API，含有一個delMin（）方法來刪除並返回佇列中鍵值最小的那個元素，只需要改變less()的方向就可以了。
1.堆的定義
在二叉堆的陣列中，每個元素都要保證大於等於另兩個特定位置的元素，也就是父節點一定要大於等於它的兩個子節點，此時成為堆有序，由此可以退出，根節點是對有序的二叉樹中的最大節點。
2.二叉堆表示方法
我們將二叉樹的節點按照層級順序放入陣列中，根節點在位置1，它的子節點在位置2和3，而子節點的子節點分別在位置4,5 6,7以此類推。簡單起見，下文的二叉堆我們簡稱為堆。在一個對中位置k的節點的父節點為[k/2]（向下取整），而它的兩個子節點位置分別為2k, 2k+1，這樣在不適用指標情況下就在陣列中實現了二叉堆。
一顆大小為N的完全二叉樹的高度為[lgN] 下取整 （2 ^ h= N ，所以h=lgN）
3.堆的演算法
我們用長度為N+1的私有陣列pq[]來表示大小為N的對（N+1的原因是為了滿足二叉樹的結構關係，不會用到pq[0]）堆元素放在pq[1]到pq[N]中。在排序演算法中我們只通過less()和exchange()來訪問元素，因為元素都在pq[]中，所以此時傳入的引數不像之前部落格的幾篇排序演算法中的less()和exch()傳入整個陣列，僅僅傳入索引，具體實現如下
private boolean less(int i, int j) {
return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
} private void exch(int i, int j) {
Key temp = pq[i];pq[i] = pq[j];pq[j]=temp;
}當插入一個元素時，我們一般先放到陣列的末尾，然後讓它一點點向上移動，直到移動到它的父節點比他大，這種操作叫上浮swim()，這樣一趟後，陣列重新恢復有序性
rivate void swim(int k) {
while(k <=1 && less(k/2, k)){ //不斷的向上移動，直到已經是最高父節點或他的父節點比他大
exch(k/2, k);
k = k/2;
}
}
（2）由下至上的堆有序化（下沉）
一般刪除最大鍵值的方式是將最大鍵值與陣列的末尾進行交換，然後把最大鍵值的指向null，可是由於陣列的末尾肯定不是最大的父節點，所以需要將它一點點向下移動，直到移動到它的子節點比它小為止，這種操作就叫下沉 sink()，這樣一趟後，陣列重新恢復有序性
private void sink(int k) {
while(k*2 <= N){ //有兩種跳出迴圈方式，一種是已經到底了，另一種就是下面的不在比他小
int j = k * 2;
if(j < N && less(j, j+1)) j++; //一般讓這個節點和他子節點的最大值比較，這樣減少交換次數，所以j++
if(!(less(k, j))) break; //此處就是不比他小時跳出
exch(k ,j);
k = j;
}
}
其實可以把元素的上浮和下沉理解為一個公司，當來了一個新人（insert）時，就先把他放到最底層，然後發現他比別人好，那就一點點給他升級，知道上升到他的上級比他還好為止，這就是上浮，而一個公司的大boss走了，此時由於他的下級有兩個人，不知道讓誰上去好，為了平衡整個管理體系，大boss出了一招，他和最末尾的員工換位置，最末尾的員工顯然勝任不了最高階的位置，所以他就一點點的向下移動，知道他的下級比他還差，這叫下沉。
整體的程式碼實現如下
public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {
private Key[] pq; //基於堆的完全二叉樹
private int N = 0; //儲存於pq[1...N]中，pq[0]沒有用
public MaxPQ(int maxN){
pq = (Key[]) new Comparable[maxN +1];
}
public boolean isEmpty(){
return N == 0;
}
public int size(){
return N;
}
public void insert(Key k){
pq[++N] = k; //插入一個數組，N就加一
swim(N); //上浮，恢復堆的有序性
}
private void swim(int k) {
while(k <=1 && less(k/2, k)){
exch(k/2, k);
k = k/2;
}
}
private void exch(int i, int j) {
Key temp = pq[i];pq[i] = pq[j];pq[j]=temp;
}
private boolean less(int i, int j) {
return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
}
public Key delMax(){
Key max = pq[1]; //從根節點取到最大元素，最高父節點
exch(1, N--); //讓根節點和陣列的最後一個節點交換，同時將N自減一
pq[N+1] = null; //將最大元素指向空
sink(1); //下沉，恢復堆的有序性
return max;
}
private void sink(int k) {
while(k*2 <= N){
int j = k * 2;
if(j < N && less(j, j+1)) j++;
if(!(less(k, j))) break;
exch(k ,j);
k = j;
}
}
}4優先佇列呼叫示例
問題：輸入N個字串，每個字串都對應著一個整數，你的任務就是從中找出最大的（或最小的）M個整數（及其相關聯的字串），在某些禪境中輸入的量可能非常巨大，甚至可以認為是無限的，解決這個方法如果先排序，然後在找，或者不斷的替換最大元素，這種比較的代價會非常高昂，所以此時可使用優先佇列。
表： 從N個輸入中找到最大的M個元素所需要的成本
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增長的數量級
示 例 ---------------------------------------------------------------------
時 間 空 間
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排序演算法的用例 NlogN N
呼叫簡單實現的優先佇列 NM M
呼叫基於堆實現的優先佇列 NlogM M
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呼叫的示例如下：
從命令列輸入一個整數M，從輸入流種獲得一系列字串，輸入流的每一行代表一個交易，這段程式碼呼叫了MinPQ並會列印數字最大的M行，當優先佇列的大小超過M時就刪掉其中最小的元素，處理完所有交易，優先佇列中方正以增煦排列的最大的M個交易。
5.多叉堆
基於用陣列表示的完全三叉樹構造堆並修改相應的程式碼並不難，對應陣列中1至N的N個元素，位置k的結點大於大於等於3k-1,3k，3k+1的結點，小於位於[(k+1)/3]下取整的結點。