圖的概念和基於鄰接矩陣的實現
這一篇簡單介紹下一種更為複雜的資料結構------圖，圖是一種比線性表和樹更為複雜的資料結構。圖結構是研究資料與資料之間多對多的關係。
一、圖的基本概念
1、一個圖定義為一個偶對（V，E），記為G=（V，E）；其中V是頂點的非空有限集合，記為V（G），E是無序集V&V的一個子集，記為E（G），其元素是圖的弧。
2、弧：表示兩個頂點之間存在一個關係，用頂點偶對<v,w>表示，通常根據頂點偶對將圖分為有向圖和無向圖。
3、有向圖：若圖的關係集合E（G）中，頂點偶對<v,w>的v和w之間是有序的，稱圖G是有向圖。在有向圖中，若<v,w>屬於E（G）,表示從頂點v到頂點w有一條弧。
4、無向圖：若圖的關係集合E（G）中，頂點偶對<v,w>的v和w之間是無序的，稱圖G是無向圖。在無向圖中，E（G）是對稱的，則用無序對（v，w）表示v到w的一條邊，即（v，w）和（w，v）表示的是同一條邊。
5、完全有向圖：對於有向圖，若圖的頂點數是n，用e表示弧的數目，e=[0,n(n-1)]，具有n(n-1)條弧的有向圖稱為完全有向圖。
6、權：與圖的邊和弧相關的數。權可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離或耗費。
7、子圖和生成子圖：設有兩個圖G1和G2，G1的頂點集是G2的頂點集的子集，G1的弧集是G2的弧集的子集，則稱G1是G2的子圖；若G1和G2的頂點集相等，G1的弧集是G2的弧集的子集，則稱G1是G2的生成子圖。
8、頂點的鄰接：對於無向圖G=（V，E），若v和w之間存在邊，則稱v和w互為鄰接點。邊依附於點v和w。對於有向圖G=（V，E），若v和w之間存在有向弧，稱頂點v鄰接到w，稱頂點w鄰接自v，弧與頂點v和w相關聯
9、度、出度、入度、路徑（有向路徑）、路徑長度、迴路（環）
10、連通圖、非連通圖、圖的連通分量（非連通圖的極大連通子圖）-----無向圖而言
11、強連通圖、非強連通圖、強連通分量-------有向圖而言
12、生成樹：一個連通圖（無向圖）的生成樹是一個極小連通子圖，包含全部n個頂點和構成樹的n-1條邊。生成森林：由若干棵有向樹組成，含有圖中全部頂點，有向樹是隻有一個頂點的入度為0，其他頂點的入度為1的有向圖。
13、網：帶權的連通圖
二、圖的儲存結構
1、鄰接矩陣（陣列）表示法：包括圖的建立、頂點定位、插入頂點、插入弧等
//圖的鄰接矩陣表示
#define INFINITY 1000
#define MAX_VEX 30 //最大頂點數目
using namespace std;
typedef string GraphKind;//有向，無向，帶權有向，帶權無向；(DG,AG,WDG,WAG)
//typedef ArcType AdjType;
typedef char VexType;
typedef int ArcValType;
typedef int ArcInfoType;
//弧或邊的結構定義
typedef struct ArcType
{
VexType vex1,vex2; //依附的兩個頂點；
ArcValType ArcVal;//權值
ArcInfoType ArcInfo;// 其他資訊
}ArcType;
typedef ArcType AdjType;
//圖的定義
typedef struct MGraph
{
GraphKind kind;
int vexnum,arcnum; //圖的當前頂點數和弧數
VexType vexs[MAX_VEX];
AdjType adj[MAX_VEX][MAX_VEX];//弧集
}MGraph;
//create graph
void Create_Graph(MGraph *G)
{
cout<<"請輸入圖的種類標誌：\n"<<endl;
string s;
cin>>s;
G->kind=s;
G->vexnum=0;
}
//圖的頂點定位，即確定一個頂點在vexs陣列中的下標
int Locate_Graph_Vex(MGraph *G,VexType *vex)
{
for(int k=0;k<G->vexnum;++k)
if(G->vexs[k]==*vex)
return k;
return -1;
}
//向圖中增加頂點
int AddVex_Graph(MGraph *G,VexType *vex)
{
int k;
if(G->vexnum>=MAX_VEX){
cout<<"graph is overflow!"<<endl;
return -1;
}
if(Locate_Graph_Vex(G,vex)!=-1)
{
cout<<"the vex has existed!"<<endl;
return -1;
}
k=G->vexnum;
G->vexs[G->vexnum++]=*vex;
if(G->kind=="DG" || G->kind=="AG") //無權值
{
for(int j=0;j<G->vexnum;j++)
{
G->adj[j][k].ArcVal=G->adj[k][j].ArcVal=0;
}
}
else
{
for(int j=0;j<G->vexnum;j++)
{
G->adj[j][k].ArcVal=INFINITY;
G->adj[k][j].ArcVal=INFINITY;
}
}
return 1;
}
//
int AddArc_Graph(MGraph *G,ArcType *arc)
{
int k,j;
k=Locate_Graph_Vex(G,&arc->vex1);
j=Locate_Graph_Vex(G,&arc->vex2);
if(k==-1 || j==-1)
{
cout<<"the vexs has not existed!"<<endl;
return -1;
}
if(G->kind=="DG" || G->kind=="WDG") //y有向圖或者帶權的有向圖
{
G->adj[k][j].ArcVal=arc->ArcVal;
G->adj[k][j].ArcInfo=arc->ArcInfo;
}
else //無向圖或無權的無向圖
{
G->adj[j][k].ArcVal=G->adj[k][j].ArcVal=arc->ArcVal;
G->adj[j][k].ArcInfo=G->adj[k][j].ArcInfo=arc->ArcInfo;
}
return 1;
}這一篇介紹了基本概念和圖的鄰接矩陣的實現，下邊貼出來測試程式碼，下一篇介紹圖的鄰接連結串列的實現和圖的兩種基本遍歷方式。
#include <iostream>
#include <malloc.h>
#include "SeqGraph.h"
using namespace std;
int main()
{
cout << "Graph:" << endl;
MGraph *G;
VexType vexs[4]={'A','B','C','D'};
ArcType arc[4];
/*
for(int i=0;i<4;i++)
{
arc[i].ArcInfo=0;
arc[i].ArcVal=i+1;
arc[i].vex1=vex[i];
arc[i].vex2=vex[(i+1)%4];
}
*/
G=(MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));
Create_Graph(G);
for(int i=0;i<4;i++)
{
AddVex_Graph(G,&vexs[i]);
}
for(int i=0;i<4;i++)
{
arc[i].ArcInfo=0;
arc[i].ArcVal=i+1;
arc[i].vex1=vexs[i];
arc[i].vex2=vexs[(i+1)%4];
AddArc_Graph(G,&arc[i]);
}
for(int i=0;i<4;i++)
{
cout<<G->vexs[i]<<" ";
}
cout<<endl;
for(int i=0;i<4;i++)
{
for(int j=0;j<4;j++){
cout<<G->adj[i][j].ArcVal<<" ";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}