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題目大意

定義一個非空集合是合法的，當且僅當它滿足以下兩個條件。
1、集合內所有元素 and 和為 0
2、它的非空子集中僅有它本身滿足 1
給出一個集合 S，求它的合法非空子集數。

（這裡的集合都是可重的）
n<=1000， 0<=a[i]<1024

題解

一個 AND 和為 0 的集合 S 合法，當且僅當它所有大小為 |S−1| 的集合 AND 和都不為 0。

也就是說有 |S| 個限制，每個限制為某個集合的 AND 和不為 0。
如果令 Sa 為 S 刪去 a 這個元素所形成的集合，令 f(S) 為 S 集合中所有元素的 AND 和，
那麼答案就是 ∑

這玩意是很難直接 dp 的，因此容斥這些限制
也就是說要去求補集：求某些限制同時不合法的方案數

於是有這麼一個式子：[⋀a∈S(f(Sa)≠0)]=∑S'⊆S[⋀a∈S'(f(Sa)=0)](−1)|S'|
注意到 [⋀a∈S'(f(Sa)=0)]=[ORa∈S'f(Sa)=0]
也就是如果某些限制同時不滿足的話，那麼如果把所有對應集合的AND和 按位或起來的和為 0

因此答案就等於 ∑S∑S'⊆S[(f(S)=0)∧ORa∈S'f(Sa)=0](−1)|S'|
暴力的話列舉集合 S，列舉 S 的子集 S' 就可以算貢獻了

如果要 DP 的話只需要記錄 S

令 fi,k,j 為 考慮了前 i 個數，前者的值為 k，後者的值為 j 的答案

若第 i+1 個數為 d
如果不選第 i+1 個數，則有：fi,k,j→fi+1,k,j
如果 S 中選第 i+1 個數，但 S' 中不選，則有：fi,k,j→fi+1,k&d,j&d
如果 S 中選第 i+1 個數，且 S' 中也選，則有：−fi,k,j→fi+1,k&d,k|j&d
初始狀態為 f0,1023,1023=1
最終答案 ans=fn,0,0

程式碼

//from rzO_KQP_Orz
 


#include<cstdio>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=1005, maxa=1030;
const LL mo=1e9+7;

int n,a[maxn];

LL f[2][maxa][maxa]; //先k後j可以定址優化
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);

    f[0][1023][1023]=1;
    int p=0;
    fo(i,0,n-1)
    {
        fo(k,0,1023)
        {
            for(int j=k; j; j=(j-1)&k) f[p^1][k][j]=0;
            f[p^1][k][0]=0;
        }
        fo(k,0,1023)
        {
            for(int j=k; j; j=(j-1)&k)
            {
                (f[p^1][k][j]+=f[p][k][j])%=mo;
                (f[p^1][k&a[i+1]][j&a[i+1]]+=f[p][k][j])%=mo;
                f[p^1][j|k&a[i+1]][j&a[i+1]]-=f[p][k][j];
            }
            (f[p^1][k][0]+=f[p][k][0])%=mo;
        }
        p^=1;
    }

    printf("%lld\n",(f[p][0][0]+mo)%mo);
}