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線性判別分析（Linear Discriminant Analysis,LDA）是一種可作為特徵抽取的技術

LDA可以提高資料分析過程中的計算效率，對於未能正則化的模型，可以降低維度災難帶來的過擬合。

LDA與PCA相似：

PCA試圖尋找到方差最大的正交的主成分分量軸，

LDA發現可以最優化分類的特徵子空間

LDA和PCA都是可用於降低資料集維度的線性轉換技巧。

PCA是無監督演算法

LDA是監督演算法

LDA是一種更優越的用於分類的特徵提取技術

二分類中的LDA圖：

LD1通過線性判定，可以很好的將呈正態分佈的兩個類分開。

LD2的線性判定保持了資料集的較大方差，但LD2無法提供關於類別的資訊，因此LD2不是一個好的線性判定。

LDA方法步驟：

1、       對d維資料集進行標準化處理（d為特徵數量）

2、       對每一類別，計算d維的均值向量

3、           構造類間的散佈矩陣以及類內的散佈矩陣

4、           計算矩陣的特徵值所對應的特徵向量，

5、       選取前k個特徵值對應的特徵向量，構造一個d x k維的轉換矩陣W，特徵向量以列的形式排列

6、       使用轉換矩陣W將樣本對映到新的特徵子空間上

計算散佈矩陣：

均值向量m儲存了類別i中樣本的特徵均值μm

# 資料集的三個類別對應的均值向量
np.set_printoptions(precision=4)

mean_vecs = []
for label in range(1,4):
    mean_vecs.append(np.mean(X_train_std[y_train==label], axis=0))
    print('MV %s: %s\n' %(label, mean_vecs[label-1]))
 

通過均值向量計算類內散佈矩陣Sw：

通過累加各類別i的散佈矩陣Si來計算：

d = 13 # number of features
S_W = np.zeros((d, d))
for label,mv in zip(range(1, 4), mean_vecs):
    class_scatter = np.zeros((d, d)) # scatter matrix for each class
    for row in X[y == label]:
        row, mv = row.reshape(d, 1), mv.reshape(d, 1) # make column vectors
        class_scatter += (row-mv).dot((row-mv).T)
    S_W += class_scatter                             # sum class scatter matrices
print('Within-class scatter matrix: %sx%s' % (S_W.shape[0], S_W.shape[1]))

print('Class label distribution: %s' 
      % np.bincount(y_train)[1:])
 

# 訓練集的類標不均勻分佈

因此計算散佈矩陣前，對各類別的散佈矩陣做縮放處理。

協方差矩陣可以看做歸一化的散佈矩陣

# 類內散佈矩陣計算
d = 13 # number of features
S_W = np.zeros((d, d))
for label,mv in zip(range(1, 4), mean_vecs):
    class_scatter = np.cov(X_train_std[y_train==label].T)
    S_W += class_scatter
print('Scaled within-class scatter matrix: %sx%s' % (S_W.shape[0], S_W.shape[1]))

計算類間散佈矩陣：

# 計算類間散射矩陣:
mean_overall = np.mean(X_train_std, axis=0)
d = 13 # number of features
S_B = np.zeros((d, d))
for i,mean_vec in enumerate(mean_vecs):
    n = X[y==i+1, :].shape[0]
    mean_vec = mean_vec.reshape(d, 1) # make column vector
    mean_overall = mean_overall.reshape(d, 1) # make column vector
    S_B += n * (mean_vec - mean_overall).dot((mean_vec - mean_overall).T)

print('Between-class scatter matrix: %sx%s' % (S_B.shape[0], S_B.shape[1]))

在新特徵子空間上選取線性判別演算法

求解的廣義特徵值：

eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eig(np.linalg.inv(S_W).dot(S_B))

# 特徵值降序排序
#列出(特徵值，特徵向量)元組。
eigen_pairs = [(np.abs(eigen_vals[i]), eigen_vecs[:,i]) for i in range(len(eigen_vals))]
# 從高到低排序(特徵值，特徵向量)元組。
eigen_pairs = sorted(eigen_pairs, key=lambda k: k[0], reverse=True)
# 通過減少特徵值來直觀地確定列表是否正確排序。
print('Eigenvalues in decreasing order:\n')
for eigen_val in eigen_pairs:
    print(eigen_val[0])

d x d維協方差矩陣的秩最大為d-1，得到兩個非0的特徵值。

# 度量線性判別可以獲得多少可區分類別資訊
tot = sum(eigen_vals.real)
discr = [(i / tot) for i in sorted(eigen_vals.real, reverse=True)]
cum_discr = np.cumsum(discr)

plt.bar(range(1, 14), discr, alpha=0.5, align='center',
        label='individual "discriminability"')
plt.step(range(1, 14), cum_discr, where='mid',
         label='cumulative "discriminability"')
plt.ylabel('"discriminability" ratio')
plt.xlabel('Linear Discriminants')
plt.ylim([-0.1, 1.1])
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/lda1.png', dpi=300)
plt.show()

# 疊加兩個判別能力最強的特徵向量列來構建轉換矩陣W
w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis].real,
                      eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis].real))
print('Matrix W:\n', w)

將樣本對映到新的特徵空間

# 對訓練集進行轉換X’=XW
X_train_lda = X_train_std.dot(w)
colors = ['r', 'b', 'g']
markers = ['s', 'x', 'o']

for l, c, m in zip(np.unique(y_train), colors, markers):
    plt.scatter(X_train_lda[y_train==l, 0], 
                X_train_lda[y_train==l, 1], 
                c=c, label=l, marker=m)

plt.xlabel('LD 1')
plt.ylabel('LD 2')
plt.legend(loc='upper right')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/lda2.png', dpi=300)
plt.show()

使用SKlearn進行LDA分析

from sklearn.lda import LDA

lda = LDA(n_components=2)
X_train_lda = lda.fit_transform(X_train_std, y_train)
# 邏輯迴歸在相對低維資料上的表現
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
lr = LogisticRegression()
lr = lr.fit(X_train_lda, y_train)

plot_decision_regions(X_train_lda, y_train, classifier=lr)
plt.xlabel('LD 1')
plt.ylabel('LD 2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/lda3.png', dpi=300)
plt.show()

# 應用在測試集上的效果
X_test_lda = lda.transform(X_test_std)

plot_decision_regions(X_test_lda, y_test, classifier=lr)
plt.xlabel('LD 1')
plt.ylabel('LD 2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/lda4.png', dpi=300)
plt.show()

模型效果完美！