2:簡單的整數劃分問題

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描述

將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。正整數n 的不同的劃分個數稱為正整數n 的劃分數。

輸入

標準的輸入包含若干組測試資料。每組測試資料是一個整數N(0 < N <= 50)。

輸出

對於每組測試資料，輸出N的劃分數。

樣例輸入

5

樣例輸出

7

提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

方法一：採用DFS的方法，對目標進行深度搜索，如圖所示

上面只畫了一部分的結點，就類似於一個結點一個結點的往下搜尋，搜尋到符合結果的就cnt++.

一般能畫出這種樹狀圖的都能用DFS。DFS的核心程式碼在我的ZOJ1002文章裡有提到。

方法二：

例如數字5（以j表示)，有1 2 3 4 5五個因子（下面以i代表第五個） ，每一個因子在選擇時都有選與不選兩種選擇。

例如如果選5

問題就變成 0 ，1 2 3 4 5。這就直接return了

如果不選5

問題就變成5, 1 2 3 4。

以此類推，後面的步驟和前面都是一樣的。所以我們可以把問題分解為兩種情況

(j,i) + (j-i,i) //j 代表還有多少能減 ， i代表還有前i個數

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;
int cnt=0;//記錄方案次數
int n;//輸入的數值
void dfs(int sum,int k)//sum為每次嘗試的和，k為下一結點的值
{
    
    if(sum>=n)//如果大於n就需判斷是否符合
    {
        if(sum==n)
            cnt++;
    }
    if(k<1)return;//1後面就沒了
    for(int i=k;i>0;i--)//每個結點都有1~k個分支
    {
        if(sum<n)//小於n才有新的分支
        {
            sum=sum+i;
            if(sum>=n)//例如3+2=5的情況
            {
                dfs(sum,i-1);//進入下一個結點
            }
            else
                dfs(sum,i);//例如1+1+1+1+1=5的情況,進入下一個結點
            sum=sum-i;//復原,因為一個結點會有多個分支。
        }
    }
}
int main()
{
    
    while(cin>>n)
    {
        dfs(0,n);
        cout<<cnt<<endl;
        cnt=0;
    }
    return 0;
}
 

方法二：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int way(int i,int j);
int ways[55][55];
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        memset(ways,0xff,sizeof(ways));//全部賦值為-1
        cout<<way(n,n)<<endl;
    }
    return 0;
}
int way(int i,int j)
{
    int result=0;
    if(j==0)
        return 1;
    if(i==0)
        return 0;
    if(ways[i][j]!=-1)//如果這種情況已經做過直接返回
        return ways[i][j];
    if(j>=i)
        result+=way(i,j-i);
    result+=way(i-1,j);
    ways[i][j]=result;//狀態記錄
    return result;
}