22 基本的圖演算法

思考題

22-1 （以廣度優先搜尋來對圖的邊進行分類）深度優先搜尋將圖中的邊分類為樹邊、後向邊、前向邊和橫向邊。廣度優先搜尋也可以用來進行這種分類。具體來說，廣度優先搜尋將從源結點可以到達的邊劃分為同樣的4種類型。
a.證明在對無向圖進行的廣度優先搜尋中，下面的性質成立：
1.不存在後向邊，也不存在前向邊。
2.對於每條樹邊(u, v)，我們有v.d = u.d + 1。
3.對於每條橫向邊(u, v)，我麼有v.d = u.d 或 v.d = u.d + 1。
b.證明在對有向圖進行廣度優先搜尋時，下面的性質成立：
1.不存在前向邊。
2.對於每條樹邊(u, v)，我們有v.d = u.d + 1。
3.對於每條橫向邊(u, v)，我們有v.d ≤ u.d + 1。
4.對於每條後向邊(u, v)，我們有0 ≤ v.d ≤ u.d。

ANSWER：
a：

1. 假如(u, v)是前向邊，則搜尋結點v前必搜尋u，則根據BFS，當搜尋結點u以後必先搜尋結點v，則(u, v)是樹邊；同理，若(u, v)是後向邊，則(v, u)是樹邊；矛盾，所以不存在前向邊和後向邊。
2. 對於每條樹邊(u, v)有v.π = u，切執行v.π = u的同時執行v.d = u.d + 1；在這之後u.d和v.d都不會改變，所以v.d = u.d + 1；得證。
3. 由(u, v)為橫向邊可知，當搜尋結點u時，v必須在佇列中，否則(u, v)為樹邊，所以v.d ≤ u.d + 1。又由無向圖橫向邊可知v.d ≥ u.d。所以u.d = v.d 或 u.d + 1 = v.d。

b：

1. 假如(u, v)是前向邊，則u.d ＜ v.d，則搜尋結點u時，結點v仍是白色，則(u, v)必是樹邊，矛盾；所以不存在前向邊。
2. 同a.2。
3. 和a.3類似。
4. 顯然有v.d ≥ 0，又由後向邊可知v.d ≤ u.d，得證。

22-2 （銜接點、橋和雙連通分量）設G=（V，E）為一個連通無向圖。圖G的銜接點是指圖G中的一個結點，刪除該結點將導致圖不連通。圖G的橋是指圖中的一條邊，刪除該條邊，圖就不再連通。圖G的雙連通分量是指一個最大的邊集合，裡面的任意兩條邊都處於同一條簡單環路中。設Gπ=（V，Eπ）為圖G的深度優先樹。
（事實上這裡的雙連通分量是點-雙連通分量，還有邊-雙連通分量）

問題：
a. 證明：Gπ的根結點是圖G的銜接點當且僅當它在Gπ中至少有兩個子結點。
證明：
因為在對無向圖G進行DFS時，每條邊要麼是樹邊，要麼是後向邊，因此當根結點刪除時，如果它有兩個以上的的子結點，這些子結點是無法相互到達的，因此根結點是圖G的銜接點

b. 設結點v為Gπ的一個非根結點。證明：v是G的銜接點當且僅當結點v有一個子結點s，且沒有任何從結點s或任何s的後代結點指向v的真祖先的後向邊。
證明：
考慮v的任意子結點s，如果s及其後代不能連回v的真祖先，那麼顯然，刪除v之後，v的真祖先與s不再連通。
反過來，如果s或它的後代存在一條後向邊連回v的真祖先，則即使刪了v，以s為根的子樹都可以通過這條後向邊與v的真祖先連通。

c. 定義：
v.low=min{u.d
w.d:（u，w）是結點v的某個後代結點u的一條後向邊}
（d為第一時間戳）
請說明如何在O（E）的時間內為所有結點v計算出v.low的值
解：
對圖G進行DFS，設現在遍歷到結點u，初始化u.low=u.d。
接下來尋找拓展結點，設該結點為v.
如果結點v未被訪問過，則我們從結點v處DFS以求得v.low，用其更新u.low
否則如果v不是u的父親，那麼我們用v.d更新u.low

d. 說明如何在O（E）時間內計算出圖G的所有銜接點
解：
c中基本說的差不多了，以下是細節：
進行DFS時同時維護father，確保不把兒子到父親的路徑當成後向邊。
不能邊DFS邊輸出，因為可能多次滿足條件，所以只能做上標記。

e. 證明：圖G的一條邊是橋當且僅當該邊不屬於G中的任何簡單環路。
證明：
若存在一個橋屬於G中的一個簡單環路，那麼刪除這條邊後，該橋的兩端結點根據定義仍然可以通過其他路徑連通，矛盾；而如果一條邊不屬於任何簡單環路，那麼這條邊的兩端節點只能通過這條邊連通（否則會出現新環路），因此刪除這條邊時圖G不再連通，故此時這條邊是橋。

f. 說明如何在O（E）時間內計算出圖G所有橋。
解：
過程其實與求銜接點很相似，但要注意判定過程中有更改：
當u.d>v.low時（u，v）是橋（可以發現等號不能成立）

g. 證明：G的雙連通分量是G的非橋邊的一個劃分
證明：
事實上就是讓你證雙連通分量中刪去任意一個點都不影響連通性。
這是一個雙連通圖顯然的性質，不詳細證了。

h. 給出一個O（E）時間複雜度的演算法來給圖G的每條邊e做出標記。這個標記是一個正整數e.bcc且滿足e.bcc=e’.bcc當且僅當邊e和邊e’在同一個雙連通分量中。
解：
從森林的每個根結點開始DFS，用類似於求銜接點的方法維護每個結點的low值，但為了儲存bcc，我們還要建一個棧來儲存沒有訪問過的邊；如果遍歷的邊為後向邊，我們就用反向邊更新自己（要注意反向邊不能指向父親）

附：邊-雙連通分量可先做一次DFS標記出所有的橋，然後第二次DFS找出邊-雙連通分量，因為邊-雙連通分量是沒有公共結點的，所以第二次DFS保證不經過橋即可。

22-3（歐拉回路）歐拉回路的演算法來自1873年的Hierholzer，前提是假設圖G存在歐拉回路，即有向圖任意點的出度和入度相同。從任意一個起始點v開始遍歷，直到再次到達點v，即尋找一個環，這會保證一定可以到達點v，因為遍歷到任意一個點u，由於其出度和入度相同，故u一定存在一條出邊，所以一定可以到達v。將此環定義為C，如果環C中存在某個點x，其有出邊不在環中，則繼續以此點x開始遍歷尋找環C’，將環C、C’連線起來也是一個大環，如此往復，直到圖G中所有的邊均已經新增到環中。

資料結構如下：
(1) 使用迴圈連結串列CList儲存當前已經發現的環；
(2) 使用一個連結串列L儲存當前環中還有出邊的點；
(3) 使用鄰接表儲存圖G

使用如下的步驟可以確保演算法的複雜度為O(E)：
(1) 將圖G中所有點入L，取L的第一個結點
(2) 直接取其鄰接表的第一條邊，如此迴圈往復直到再次到達點v構成環C，此過程中將L中無出邊的點刪除。環C與環CList合併，只要將CList中的點v使用環C代替即可。
(3) 如果連結串列L為空表示歐拉回路過程結束，否則取L的第一個結點，繼續步驟(2)

22-4 （可到達性）設G = (V, E)為一個有向圖，且每個結點u∈V都標有一個唯一的整數值標記L(u)，L(u)的取值為集合{1，2，…，|V| }。對於每個結點u∈V，設R(u) = {v∈V：u→v}為從結點u可以到達的所有結點的集合。定義min(u)為R(u)中標記最小的結點，即min(u)為結點v，滿足L(v) = min{L(w)：w∈R(u)}。請給出一個時間複雜度為O(V + E)的演算法來計算所有結點u∈V的min(u)。

ANSWER：按照結點L(u)順序對每個結點查詢該結點可到達的結點，並找出最小的L(v)，即min(u)；
對V個結點進行查詢共計E條邊，所以時間複雜度為O(V + E)。