函式時間複雜度的計算詳解（轉自CSDN）
阿新 • • 發佈：2019-02-11
轉自：http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/46994347
http://www.cnblogs.com/SCAU_que/articles/1735784.html
函式的漸近增長：給定兩個函式f(n)和g(n)，如果存在一個整數N，使得對於所有的n > N，f(n)總是比g(n)大，那麼，我們說f(n)的增長漸近快於g(n)。
演算法時間複雜度定義
在進行演算法分析時，語句總的執行次數T(n）是關於問題規模n的函式，進而分析T(n）隨n的變化情況並確定T(n）的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度，記作：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n）的增長率相同，稱作演算法的漸近時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中f(n）是問題規模n的某個函式。 這樣用大寫O( )來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大O記法。 一般情況下，隨著n的增大，T(n)增長最慢的演算法為最優演算法。
推導大O階：
1.用常數1取代執行時間中的所有加法常數。
2.在修改後的執行次數函式中，只保留最高階項。
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。得到的結果就是大O階。
常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是
O(1) < O(logn)
< O(n)
< O(nlogn)
< O(n2)
< O(n3)
< O(2n)
< O(n!)
< O(nn)
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果演算法的執行時 間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交換i和j的內容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程式的時間複雜度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解： 語句1的頻度：2,
語句2的頻度： n,
語句3的頻度： n-1,
語句4的頻度：n-1,
語句5的頻度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為O(n^3).
我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況執行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間執行。
下面是一些常用的記法：
訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要O(n)時間 。常規的矩陣乘演算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間演算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是O(2n)的 。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名 的“巡迴售貨員問題” )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況， 通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之