浮點數如何儲存

浮點數的運算完全不同於整數，從暫存器到指令，都有一套獨特的處理流程，浮點單元也稱作x87 FPU。

現在看浮點數的表示方式，我們所知道的，計算機使用二進位制儲存資料，所表示的數字都具有確定性，那是如何表示浮點這種具有近似效果的資料呢，答案是通過科學計數，科學計數由符號，尾數和指數表示，這三部分都是一個整數值，具體來看一下IEEE二進位制浮點標準：

以單精度為例，在記憶體中的儲存格式如下（左邊為高位）：

	| 1位符號 | 8位指數 | 23位尾數 |

其中符號位1表示負數，0表示正數，這與整數形式的符號位意義相同； 科學計數法表示形式如 m * (b ^ e)，m為尾數，b為基數，e是指數，再二進位制中，基數毫無疑問是2，對單精度，指數為中間8位二進位制表示的數字，其中的尾數是形如1.1101 小數點後面的整數值。

關於指數，由於需要表示正負兩種資料，IEEE標準規定單精度指數以127為分割線，實際儲存的資料是指數加127所得結果，127為高位為零，後7位為1所得，其他雙精度也以此方式計算。

為了解釋記憶體中浮點數的儲存方式，舉一個浮點數的例子說明：

float test = 123.456;

int main()
{
    return 0;
}
 

例子再簡單不過了，僅僅定義了一個全域性的float型別，我們通過gcc -S test.c來生成彙編，看看123.456是如何儲存的，開啟反彙編後的檔案，看到符號_test後定義的數字是 1123477881（這裡gcc定義成了long型別，不過沒有關係，因為都是四位元組數字，具體的型別還得看如何使用）。可以使用計算器把十進位制數字轉化為二進位制：0 10000101 11101101110100101111001，這裡根據單精度的劃分方式把32位劃分成三部分，符號位為0，為正數，指數為 133，減去127得6，尾數加上1.，形式為1.11101101110100101111001，擴大2 ^ 23次方為111101101110100101111001

浮點暫存器

這裡介紹了浮點數的二進位制表示，前面說過浮點單元計算使用獨立的暫存器，在暫存器那篇也稍有提及，這裡詳細說明一下浮點單元的暫存器設施。

FPU有 8 個獨立定址的80位暫存器，名稱分別為r0, r1, …, r7，他們以堆疊形式組織在一起，統稱為暫存器棧，編寫浮點指令時棧頂也寫為st(0)，最後一個暫存器寫作st(7)。

FPU另有3個16位的暫存器，分別為控制暫存器、狀態暫存器、標記暫存器，現一一詳細說明此三個暫存器的作用：

狀態暫存器，為使用者記錄浮點計算過程中的狀態，其中各位的含義如下：

0 —— 非法操作異常
1 —— 非規格化運算元異常
2 —— 除數為0異常
3 —— 溢位標誌異常
4 —— 下溢標誌異常
5 —— 精度異常標誌
6 —— 堆疊錯誤
7 —— 錯誤彙總狀態
8 —— 條件程式碼位0（c0）
9 —— 條件程式碼位1（c1）
10 —— 條件程式碼位2 （c2）
11-13 —— 堆疊頂指標
14 —— 條件程式碼位3（c3）
15 —— 繁忙標誌

其中讀取狀態暫存器內容可使用 fstsw %ax

控制暫存器的位含義如下：

0 —— 非法操作異常掩碼 
1 —— 非法格式化異常掩碼 
2 —— 除數為0異常掩碼 
3 —— 溢位異常掩碼 
4 —— 下溢異常掩碼 
5 —— 精度異常亞曼 
6-7 —— 保留 
8-9 —— 精度控制（00單精度，01未使用，10雙精度，11擴充套件精度） 
10-11 —— 舍入控制（00舍入到最近，01向下舍入，10向上舍入，11向0舍入） 
12 —— 無窮大控制 
13–15 —— 保留

其中讀取控制暫存器和設定控制暫存器的指令如下：

# 載入到記憶體
fstcw control
# 載入到控制器
fldcw control

最後的標誌暫存器最為簡單，分別0-15位分別標誌r0-r7共8個暫存器，每個暫存器佔2位，這兩位的含義如下：

11 —— 合法擴充套件精度 
01 —— 零 
10 —— 特殊浮點 
11 —— 無內容

另外對浮點暫存器的一些控制指令如下：

# 初始化fpu，控制、狀態設為預設值，但不改變fpu的資料
finit

# 恢復儲存環境
fldenv buffer
fstenv buffer

#清空浮點異常
fnclex

#fpu狀態儲存
fssave

fstenv 儲存控制暫存器、狀態暫存器、標記暫存器、FPU指令指標偏移量、FPU資料指標，FPU最後執行的操作碼到記憶體中。

浮點數指令

接下來將要詳細說明其計算過程，要計算資料首先得看如何從記憶體中載入資料到暫存器，同時把結果從暫存器取出到記憶體，除了載入記憶體中的浮點資料指令，另外還有一些常量的載入，現列舉如下：

以上指令雖多，但是還是很有規律，字首f表示fpu操作，ld載入，st儲存設定，p字尾彈出堆疊，s、l、t字尾表示單精度，雙精度，擴充套件精度，c字尾表 示控制暫存器，s字尾表示狀態暫存器。當然這僅僅是對AT&T語法而言，對MASM語法沒有s，l，t之分，需要使用type ptr來指明精度，即記憶體大小。

學會靈活的載入彈出資料堆疊後，接下來就要看一些基本的計算：

fadd    浮點加法
fdiv    浮點除法
fdivr   反向浮點除法
fmul    浮點乘法
fsub    浮點減法
fsubr   反向浮點減法

對於以上的每種指令，有幾種指令格式，以fadd為例，列舉如下：

# 內從中的32位或者64位值和%st(0)相加
fadd source

# 把%st(x)和%st(0)相加，結果存入%st(0)
fadd %st(x), %st(0)

# 把%st(0)和%st(x)相加，結果存入%st(x)
fadd %st(0), %st(x)

# 把%st(0)和%st(x)相加，結果存入%st(x)，彈出%st(0)
faddp %st(0), %st(x)

# 把%st(0)和%st(1)相加，結果存入%st(1)，彈出%st(0)
faddp

# 把16位或32位整數與%st(0)相加，結果存入%st(0)
fiadd source

這僅僅是對AT&T語法而言，對MASM源運算元與目的運算元相反！另外，對AT&T，與記憶體相關指令可加s、l指定記憶體精度。其中反向加法和反向除法是計算過程中目的與源反向計算。

浮點計算例子

接下來舉一個AT&T語法的例子，來計算表示式的值 ( 12.34 * 13 ) + 334.75 ) / 17.8 ：

# ( 12.34 * 13 ) + 334.75 ) / 17.8
.section .data
    values: .float 12.34, 13, 334.75, 17.8
    result: .double 0.0

    outstring: .asciz "result is %f\n"
.section .text
.globl _main
_main:
    leal values, %ebx
    flds 12(%ebx)
    flds 8(%ebx)
    flds 4(%ebx)
    flds (%ebx)

    fmulp
    faddp
    fdivp %st(0), %st(1)

    fstl result

    leal result, %ebx
    pushl 4(%ebx)
    pushl (%ebx)
    pushl $outstring
    call _printf
end:
    pushl $0
    call _exit

前四個flds載入所有的資料到暫存器堆疊，可以單步執行並是用gdb的print $st0列印堆疊暫存器的值，可以看到為什麼是堆疊暫存器。需要說明的是由於printf的%f是double型別的輸出，所以最後要把一個8位元組浮點放 到棧中傳遞，最終結果為27.818541，可以看到與計算器計算的結果近似相等。

浮點高階運算

除了基本的浮點計算，x87還提供了一些諸如餘弦運算等高階計算功能：

下面來看一下浮點條件分支，浮點數的比較不像整數，可以容易的使用cmp指令比較，判斷eflags的值，關於浮點數比較，fpu提供獨立的比較機制和指令，現對這組比較指令進行說明：

浮點數比較的結果放入狀態暫存器的c0，c2，c3條件程式碼位中，其值如下：

如此倘若直接判斷c0，c2，c3的值比較繁瑣，所以可以使用一些技巧，首先使用fstsw指令獲得fpu狀態暫存器的值並存入ax，再使用sahf指令把 ah暫存器中的值載入到eflags暫存器中，sahf指令把ah暫存器的第0、2、4、6、7分別傳送至進位、奇偶、對準、零、符號位，不影響其他標 志，ah暫存器中這些位剛好包含fpu狀態暫存器的條件程式碼值，所以通過fstsw和sahf指令組合，可以傳送如下值：

把c0位傳送到eflags的進位標誌 
把c2位傳送到eflags的奇偶校驗標誌 
把c3位傳送到eflags的零標誌

傳送完畢後，可以用條件跳轉使用不同的結果值，另外需要說明的是浮點數相等判斷，因為浮點數本身儲存結構決定了它僅僅是一個近似值，所以不能直接判斷是否相 等，這樣可能與自己預期的結果不同，應該判斷兩個浮點數之差是否在一個很小的誤差範圍內，來決定這兩個浮點數是否相等。

根據上面的技巧，使用fstsw和fpu指令組合，可以方便的使用浮點判斷結果，這對我們是一種便利，而intel的工程師又為我們設計了一個組合指令，fcomi指令執行浮點比較結果並把結果存放到eflags暫存器的進位，奇偶，和零標誌。

判斷結束後eflags的標誌設定如下：

CMOV移動指令

最後介紹的是類似cmov的指令，根據判斷結果決定是否需要移動資料，其AT&T格式為 fcmovxx source, destination，其中source是st(x)暫存器，destination是st(0)暫存器。

以上可以看出，無論從暫存器的操作，還是計算過程，都比整數運算要繁瑣的多，而且看似很簡單的一個表示式，轉化成浮點彙編需要做很多工作，由於其複雜性，同 一個表示式可以有多種運算過程，當然其中的效率相差很大，這依賴於對浮點彙編的理解程度，好在有高階語言處理相關工作，編寫浮點指令的情況比較少見。