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[BZOJ3142][Hnoi2013]數列（數學相關）

阿新 • • 發佈：2019-02-11

題目描述

傳送門

題解

題意就是給出n,k,m,p，求有多少長度為k的序列A，滿足：首項為正整數；遞增數列；相鄰兩項的差小於等於m；最大值小於等於n
設a(i)=A(i+1)-A(i)，我們只考慮a(i)，顯然a(i)所需要滿足的條件就是ai≤m
一個合法的a(i)序列對答案的貢獻為
n−∑i=1k−1ai
合法的a(i)序列一共有mk−1個，那麼
ans=∑a1=1m∑a2=1m...∑ak−1=1m(n−a1−a2−...−ak−1)
=n∗mk−1−∑a1=1m∑a2=1m...∑ak−1=1m∑i=1k−1ai
從這裡可以看出，後面的一坨實際上就是1..m這些數每個數出現了(

k−1)∗mk−2次，求它們的和
所以用一下等差數列的求和公式？ans=n∗mk−1−m(m+1)2∗(k−1)∗mk−2

程式碼

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

LL n,m,k,Mod,ans;

LL fast_pow(LL a,LL p)
{
    LL ans=1;
    for (;p;p>>=1
 
,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL a,LL b)
{
    LL x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%lld
 
%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&Mod);
    if (k==1) {printf("%lld\n",n);return 0;}
    ans=n%Mod*fast_pow(m%Mod,k-1)%Mod-m*(m+1)%Mod*inv(2,Mod)%Mod*fast_pow(m%Mod,k-2)%Mod*(k-1)%Mod;
    ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}

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