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• 統計學習方法——李航

• 機器學習——周志華

  1. 統計學習三要素

  統計學習方法都是有模型、策略和演算法構成的，也就是統計學習方法由三要素構成，可以簡單地表示為：

方法=模型+策略+算法$$方法=模型+策略+算法$$
構建一種統計學習方法就是確定具體的統計學習的三要素。

1.1 模型

  統計學習首要考慮的問題是學習什麼樣的模型，在監督學習過程中，模型就是所要學習的條件概率分佈或是決策函式。模型的假設空間（hypothesis space）包含所有可能的條件概率分佈或決策函式。例如，假設決策函式是輸入變數的線性函式，那麼模型的假設空間就是所有這些線性函式構成的函式集合。假設空間中的模型一般由無窮多個。

  假設空間用 F$\mathcal{F}$ 表示。假設空間可以定義為決策函式的集合：

F={f|Y=f(X)}$$\mathcal{F}=\{f|Y=f(X)\}$$
其中，X$X$ 和 Y$Y$ 是定義在輸入空間 X$\mathcal{X}$ 和輸出空間 Y$\mathcal{Y}$ 上的變數。這是 F$\mathcal{F}$ 通常是有一個引數向量決定的函式族：
F={f|Y=fθ(X),θ∈Rn}$$\mathcal{F}=\{f|Y=f_{\theta }(X),\theta \in R^n\}$$
引數向量 θ$\theta$ 取值於 n$n$ 維歐式空間 Rn$R^n$，稱為引數空間（parameter space）。

  假設空間也可以定義為條件概率的集合：

F={P|P(Y|X)}$$\mathcal{F}=\{P|P(Y|X)\}$$
其中， X$X$ 和 Y$Y$ 是定義在輸入空間 X$\mathcal{X}$ 和輸出空間 Y$\mathcal{Y}$ 上的隨機變數。這時

F$\mathcal{F}$ 通常由一個引數向量決定的條件概率分佈族：
F={P|Pθ(Y|X),θ∈Rn}$$\mathcal{F}=\{P|P_{\theta }(Y|X),\theta \in R^n\}$$
引數向量 θ$\theta$ 取值於 n$n$ 維歐式空間 Rn$R^n$，稱為引數空間（parameter space）。

1.2 策略

  有了模型的假設空間，統計徐誒需要考慮的是按照什麼樣的準則學習或選擇最優的模型。統計學習的目標在於從假設空間中選取最優模型。

  首先引入損失函式與風險函式的概念。

• 損失函式：度量模型以此預測的好壞；
• 風險函式：度量平均一一下模型預測的好壞；

1.2.1 損失函式和風險函式

  監督學習問題是在假設空間 F$\mathcal{F}$ 中選取模型 f$f$ 作為決策函式，對於給定的輸入

X$X$，由 f(X)$f(X)$ 給出相應的輸出 Y$Y$，這個輸出的預測值 f(X)$f(X)$ 與真實值 Y$Y$ 可能一致也可能不一致，用一個損失函式 (loss function) 或 代價函式 (cost function) 來度量預測錯誤的程度。損失函式是 f(X)$f(X)$ 和 Y$Y$ 的 非負實值函式，記做 L(Y,f(X))$L(Y,f(X))$.\

  統計學習中常用的損失函式有一下幾種

• 0-1 損失函式 (0-1 loss function)

• 平方損失函式 (quadratic loss function)

• 絕對損失函式 (absolute loss function)

• 對數損失函式 (logarithmic loss function)
  

  L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)$$L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X)$$

  損失函式值越小，模型也就越好，由於模型的輸入，輸出 (X,Y)$(X,Y)$ 是隨機變數，遵循聯合分佈 P(X,Y)$P(X,Y)$，所以損失函式的期望是

Rexp(f)=Ep[L(Y,f(X))]=∫X

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