softmax 迴歸模型，是logistic 迴歸模型在多分類問題上的推廣。關於logistic迴歸演算法的介紹，前面部落格已經講得很清楚，詳情可以參考部落格

在logistic迴歸模型中，我們的激勵函式sigmoid的輸入為：
z=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn

則可以得到假設函式為：
hθ(x)=g(z)=11+e−θTx

其中 g 為 sigmoid 函式。

因此，我們得到判斷，當 z 的值大於0， h 的值大於0.5，此時我們判斷 x 屬於正類（舉個例子），當 z 的值小於0.5 ,此時 h 的值小於0.5，我們判斷 x 屬於反類。

此時得到的代價函式為：

J(

θ)=−1m[∑i=1my(i)loghθx(i)+(1−y(i))log(1−hθx(i))]

只要最小化代價函式 J 就能夠得到最優的模型引數 θ 。

對於二分類來說，我們只需要一組模型引數 θ 就可以對資料進行分類。

在多分類問題中，我們的 y(i) 值就不在只是0或者1，它可以是2,3,4等等，此時我們就得為每個模型都分配一組模型引數 θ1,θ2,...,θn ，假設現在依舊是2個分類，我們對假設函式改造一下：

hθ(x)=1eθT1x+eθT2x[eθT1xeθT2x]=[p1p2]

其中，θ1 代表分類1的模型引數， θ2 代表分類2的模型引數， 那麼此時我們的假設函式 h

得到的是 p1,p2，這是兩個大於0，小於1的值，分別代表當前輸入資料 x 屬於兩個分類的概率。依照最大似然演算法，我們選取概率最大的那個作為我們的分類結果。

這就是softmax迴歸的最簡單模式。

K個模型的softmax迴歸演算法

對於輸入訓練集 {(x(1),y(1)),...(x(m),y(m))} , 我們有類標籤 y(i)∈{1,2,...,k} , 對於每個輸入資料 x ,我們都可以得到它屬於每個類別的概率 p(y=j|x) ，此時得到假設函式如下：
hθ(x(i))=⎡⎣⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θ)p(y(i)=

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