給定一個亂序陣列，找到其中第K大的值，要求時間複雜度最低
今天看演算法分析是，看到一個這樣的問題，就是在一堆資料中查詢到第k個大的值。
名稱是：設計一組N個數，確定其中第k個最大值，這是一個選擇問題，當然，解決這個問題的方法很多，本人在網上搜索了一番，查詢到以下的方式，決定很好，推薦給大家。
所謂“第（前）k大數問題”指的是在長度為n(n>=k)的亂序陣列中S找出從大到小順序的第（前）k個數的問題。
解法1： 我們可以對這個亂序陣列按照從大到小先行排序，然後取出前k大，總的時間複雜度為O(n*logn + k)。
解法2： 利用選擇排序或互動排序，K次選擇後即可得到第k大的數。總的時間複雜度為O(n*k)
解法3： 利用快速排序的思想，從陣列S中隨機找出一個元素X，把陣列分為兩部分Sa和Sb。Sa中的元素大於等於X，Sb中元素小於X。這時有兩種情況：
1. Sa中元素的個數小於k，則Sb中的第k-|Sa|個元素即為第k大數；
2. Sa中元素的個數大於等於k，則返回Sa中的第k大數。時間複雜度近似為O(n)
解法4： 二分[Smin,Smax]查詢結果X，統計X在陣列中出現，且整個陣列中比X大的數目為k-1的數即為第k大數。時間複雜度平均情況為O(n*logn)
解法5：用O(4*n)的方法對原陣列建最大堆，然後pop出k次即可。時間複雜度為O(4*n + k*logn)
解法6：維護一個k大小的最小堆，對於陣列中的每一個元素判斷與堆頂的大小，若堆頂較大，則不管，否則，彈出堆頂，將當前值插入到堆中。時間複雜度O(n * logk)
解法7：利用hash儲存陣列中元素Si出現的次數，利用計數排序的思想，線性從大到小掃描過程中，前面有k-1個數則為第k大數，平均情況下時間複雜度O(n)
附註：
1. STL中可以用nth_element求得類似的第n大的數（由謂詞決定），使用的是解法3中的思想，還可以用partial_sort對區間進行部分排序，得到類似前k大的數（由謂詞決定），它採用的是解法5的思想。
2. 求中位數實際上是第k大數的特例。
《程式設計之美》2.5節課後習題：
1. 如果需要找出N個數中最大的K個不同的浮點數呢？比如，含有10個浮點數的陣列（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3個不同的浮點數是（5，3.5，2.5）。
解答：上面的解法均適用，需要注意的是浮點數比較時和整數不同，另外求hashkey的方法也會略有不同。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的數呢？
解答：如果把問題看做m-k+1個第k大問題，則前面解法均適用。但是對於類似前k大這樣的問題，最好使用解法5或者解法7，總體複雜度較低。
3. 在搜尋引擎中，網路上的每個網頁都有“權威性”權重，如page rank。如果我們需要尋找權重最大的K個網頁，而網頁的權重會不斷地更新，那麼演算法要如何變動以達到快速更新（incremental update）並及時返回權重最大的K個網頁？
提示：堆排序？當每一個網頁權重更新的時候，更新堆。還有更好的方法嗎？
解答：要達到快速的更新，我們可以解法5，使用對映二分堆，可以使更新的操作達到O(logn)
4. 在實際應用中，還有一個“精確度”的問題。我們可能並不需要返回嚴格意義上的最大的K個元素，在邊界位置允許出現一些誤差。當用戶輸入一個query的時候，對於每一個文件d來說，它跟這個query之間都有一個相關性衡量權重f (query, d)。搜尋引擎需要返回給使用者的就是相關性權重最大的K個網頁。如果每頁10個網頁，使用者不會關心第1000頁開外搜尋結果的“精確度”，稍有誤差是可以接受的。比如我們可以返回相關性第10 001大的網頁，而不是第9999大的。在這種情況下，演算法該如何改進才能更快更有效率呢？網頁的數目可能大到一臺機器無法容納得下，這時怎麼辦呢？
提示：歸併排序？如果每臺機器都返回最相關的K個文件，那麼所有機器上最相關K個文件的並集肯定包含全集中最相關的K個文件。由於邊界情況並不需要非常精確，如果每臺機器返回最好的K’個文件，那麼K’應該如何取值，以達到我們返回最相關的90%*K個文件是完全精確的，或者最終返回的最相關的K個文件精確度超過90%（最相關的K個文件中90%以上在全集中相關性的確排在前K），或者最終返回的最相關的K個文件最差的相關性排序沒有超出110%*K。
解答：正如提示中所說，可以讓每臺機器返回最相關的K'個文件，然後利用歸併排序的思想，得到所有文件中最相關的K個。 最好的情況是這K個文件在所有機器中平均分佈，這時每臺機器只要K' = K / n （n為所有機器總數）；最壞情況，所有最相關的K個文件只出現在其中的某一臺機器上，這時K'需近似等於K了。我覺得比較好的做法可以在每臺機器上維護一個堆，然後對堆頂元素實行歸併排序。
5. 如第4點所說，對於每個文件d，相對於不同的關鍵字q1, q2, …, qm，分別有相關性權重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果使用者輸入關鍵字qi之後，我們已經獲得了最相關的K個文件，而已知關鍵字qj跟關鍵字qi相似，文件跟這兩個關鍵字的權重大小比較靠近，那麼關鍵字qi的最相關的K個文件，對尋找qj最相關的K個文件有沒有幫助呢？
解答：肯定是有幫助的。在搜尋關鍵字qj最相關的K個文件時，可以在qj的“近義詞”相關文件中搜索部分，然後在全域性的所有文件中在搜尋部分。