原文地址：

基本問題

問題描述： 給定一個數組， 其中有一個數出現了p次， 其他數都出現了k次， 找出出現p次的數（其中 p>0 p%k != 0）， 求出現p次的數.

基本問題解法

一，32 個計數器

對於一個32 bit 的整數， 我們將每一位都看作是獨立的， 並且設定32個計數器， 每個計數器對應於一位，然後統計所有數的該位上有多少個1。如果結果對k取模後為 0 則說明結果中該位應該取0， 否則該位應該取1。
虛擬碼如下：

count1 = 0;
count2 = 0;
...
count 32 = 0;
foreach(var i in nums)
    count1 += ((i& 0x01
 
) ? 1 : 0) %k;
    count2 += ((i& 0x02) ? 1 : 0) %k;
    ...
    count32 += ((i& 0x80000000) ? 1: 0) %k;
end foreach;

ret = 0;
ret |= (count1 ? 0x01: 0);
ret |= (count2 ? 0x02: 0);
...
ret |= (count32 ? 0x80000000: 0);
return ret;

二， 模擬加法

可以看出第一種方法十分繁瑣，而且佔用空間比較大， 需要32 個整數。其實用32 個計數器是存在冗餘的，因為一般k比較小， 不會佔用整數的大小。解法1 中count 分佈可以看作如下矩陣：
Count1 1,2,3,4,5… 32
Count2 1,2,3,4,5… 32
Count3 1,2,3,4,5… 32
….
Count32 1,2,3,4,5… 32

將矩陣向左旋轉90度，

Count1 Count2 Count3 …. Count32
32 32 32 32
…..
2 2 2 2
1 1 1 1

這樣我們將每行看做一個數。
此時1~log(k) 行是儲存資料的行， 之後的行都可以刪除。
此時需要考慮如何實現加法， 如何進行取模操作。
此時參考英文原文中的方法進行。
需要注意的是：
在k = 2的m次 時， 可以只使用m個數， 並且取模操作可以省略， 因為進位會被忽略。