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Android中影象變換Matrix的原理應用

阿新 • • 發佈：2019-02-15

第一部分 Matrix的數學原理

在Android中，如果你用Matrix進行過影象處理，那麼一定知道Matrix這個類。Android中的Matrix是一個3 x 3的矩陣，其內容如下：

 

Matrix的對影象的處理可分為四類基本變換：

Translate           平移變換

Rotate                旋轉變換

Scale                  縮放變換

Skew                  錯切變換

從字面上理解，矩陣中的MSCALE用於處理縮放變換，MSKEW用於處理錯切變換，MTRANS用於處理平移變換，MPERSP用於處理透視變換。實際中當然不能完全按照字面上的說法去理解Matrix。同時，在Android的文件中，未見到用Matrix進行透視變換的相關說明，所以本文也不討論這方面的問題。

針對每種變換，Android提供了pre、set和post三種操作方式。其中

set用於設定Matrix中的值。

pre是先乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、後乘必須要嚴格區分。先乘相當於矩陣運算中的右乘。

post是後乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、後乘必須要嚴格區分。後乘相當於矩陣運算中的左乘。

除平移變換(Translate)外，旋轉變換(Rotate)、縮放變換(Scale)和錯切變換(Skew)都可以圍繞一箇中心點來進行，如果不指定，在預設情況下是圍繞(0, 0)來進行相應的變換的。

下面我們來看看四種變換的具體情形。由於所有的圖形都是有點組成，因此我們只需要考察一個點相關變換即可。

一、 平移變換

假定有一個點的座標是 ，將其移動到 ，再假定在x軸和y軸方向移動的大小分別為：


如下圖所示：


不難知道：


如果用矩陣來表示的話，就可以寫成：

 

二、 旋轉變換

2.1    圍繞座標原點旋轉：

假定有一個點 ，相對座標原點順時針旋轉後的情形，同時假定P點離座標原點的距離為r，如下圖：


那麼，


如果用矩陣，就可以表示為：


2.2    圍繞某個點旋轉

如果是圍繞某個點順時針旋轉，那麼可以用矩陣表示為：


可以化為：


很顯然，

1.   

  是將座標原點移動到點後， 的新座標。

2.     


是將上一步變換後的，圍繞新的座標原點順時針旋轉 。

3.     


經過上一步旋轉變換後，再將座標原點移回到原來的座標原點。

所以，圍繞某一點進行旋轉變換，可以分成3個步驟，即首先將座標原點移至該點，然後圍繞新的座標原點進行旋轉變換，再然後將座標原點移回到原先的座標原點。

三、 縮放變換

理論上而言，一個點是不存在什麼縮放變換的，但考慮到所有影象都是由點組成，因此，如果影象在x軸和y軸方向分別放大k1和k2倍的話，那麼影象中的所有點的x座標和y座標均會分別放大k1和k2倍，即


用矩陣表示就是：


縮放變換比較好理解，就不多說了。

四、 錯切變換

錯切變換(skew)在數學上又稱為Shear mapping(可譯為“剪下變換”)或者Transvection(縮並)，它是一種比較特殊的線性變換。錯切變換的效果就是讓所有點的x座標(或者y座標)保持不變，而對應的y座標(或者x座標)則按比例發生平移，且平移的大小和該點到x軸(或y軸)的垂直距離成正比。錯切變換，屬於等面積變換，即一個形狀在錯切變換的前後，其面積是相等的。

比如下圖，各點的y座標保持不變，但其x座標則按比例發生了平移。這種情況將水平錯切。


下圖各點的x座標保持不變，但其y座標則按比例發生了平移。這種情況叫垂直錯切。

 

假定一個點經過錯切變換後得到，對於水平錯切而言，應該有如下關係：


用矩陣表示就是：


擴充套件到3 x 3的矩陣就是下面這樣的形式：

 

同理，對於垂直錯切，可以有：


在數學上嚴格的錯切變換就是上面這樣的。在Android中除了有上面說到的情況外，還可以同時進行水平、垂直錯切，那麼形式上就是：


五、 對稱變換

除了上面講到的4中基本變換外，事實上，我們還可以利用Matrix，進行對稱變換。所謂對稱變換，就是經過變化後的影象和原影象是關於某個對稱軸是對稱的。比如，某點 經過對稱變換後得到，

如果對稱軸是x軸，難麼，


用矩陣表示就是：


如果對稱軸是y軸，那麼，


用矩陣表示就是：


如果對稱軸是y = x，如圖：


那麼，


很容易可以解得：


用矩陣表示就是：


同樣的道理，如果對稱軸是y = -x，那麼用矩陣表示就是：

 

特殊地，如果對稱軸是y = kx，如下圖：


那麼，


很容易可解得：


用矩陣表示就是：


當k = 0時，即y = 0，也就是對稱軸為x軸的情況；當k趨於無窮大時，即x = 0，也就是對稱軸為y軸的情況；當k =1時，即y = x，也就是對稱軸為y = x的情況；當k = -1時，即y = -x，也就是對稱軸為y = -x的情況。不難驗證，這和我們前面說到的4中具體情況是相吻合的。

如果對稱軸是y = kx + b這樣的情況，只需要在上面的基礎上增加兩次平移變換即可，即先將座標原點移動到(0, b)，然後做上面的關於y = kx的對稱變換，再然後將座標原點移回到原來的座標原點即可。用矩陣表示大致是這樣的：


需要特別注意：在實際程式設計中，我們知道螢幕的y座標的正向和數學中y座標的正向剛好是相反的，所以在數學上y = x和螢幕上的y = -x才是真正的同一個東西，反之亦然。也就是說，如果要使圖片在螢幕上看起來像按照數學意義上y = x對稱，那麼需使用這種轉換：


要使圖片在螢幕上看起來像按照數學意義上y = -x對稱，那麼需使用這種轉換：
 

關於對稱軸為y = kx 或y = kx + b的情況，同樣需要考慮這方面的問題。

第二部分 程式碼驗證

在第一部分中講到的各種影象變換的驗證程式碼如下，一共列出了10種情況。如果要驗證其中的某一種情況，只需將相應的程式碼反註釋即可。試驗中用到的圖片：


其尺寸為162 x 251。

每種變換的結果，請見程式碼之後的說明。

  1. <span style="font-size:13px;"></span><pre name="code"class="java">package com.pat.testtransformmatrix;  
  2. import android.app.Activity;  
  3. import android.content.Context;  
  4. import android.graphics.Bitmap;  
  5. import android.graphics.BitmapFactory;  
  6. import android.graphics.Canvas;  
  7. import android.graphics.Matrix;  
  8. import android.os.Bundle;  
  9. import android.util.Log;  
  10. import android.view.MotionEvent;  
  11. import android.view.View;  
  12. import android.view.Window;  
  13. import android.view.WindowManager;  
  14. import android.view.View.OnTouchListener;  
  15. import android.widget.ImageView;  
  16. publicclass TestTransformMatrixActivity extends Activity  
  17. implements
  18. OnTouchListener  
  19. {  
  20.     private TransformMatrixView view;  
  21.     @Override
  22.     publicvoid onCreate(Bundle savedInstanceState)  
  23.     {  
  24.         super.onCreate(savedInstanceState);  
  25.         requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);  
  26.         this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);  
  27.         view = new TransformMatrixView(this);  
  28.         view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);  
  29.         view.setOnTouchListener(this);  
  30.         setContentView(view);  
  31.     }  
  32.     class TransformMatrixView extends ImageView  
  33.     {  
  34.         private Bitmap bitmap;  
  35.         private Matrix matrix;  
  36.         public TransformMatrixView(Context context)  
  37.         {  
  38.             super(context);  
  39.             bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);  
  40.             matrix = new Matrix();  
  41.         }  
  42.         @Override
  43.         protectedvoid onDraw(Canvas canvas)  
  44.         {  
  45.             // 畫出原影象
  46.             canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);  
  47.             // 畫出變換後的影象
  48.             canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);  
  49.             super.onDraw(canvas);  
  50.         }  
  51.         @Override
  52.         publicvoid setImageMatrix(Matrix matrix)  
  53.         {  
  54.             this.matrix.set(matrix);  
  55.             super.setImageMatrix(matrix);  
  56.         }  

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