用Python學《微積分B》（函式項級數）

1，重要推論
從上面最後一個定理，可以得出一個推論：如果冪級數的收斂半徑為R，則其和函式 S(x) 在 (-R,R) 中有任意階導數
S(k)(x)=∑n=k∞n(n−1)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−k,k=1,2,3,...
且等式右邊的冪級數的收斂半徑也是R。
利用逐項求導或逐項積分，可以由已知冪級數的和函式求出另外一些冪級數的和函式，反過來，也可以把一些初等函式展開為冪級數。這就是“函式的冪級數展開” 的理論基礎，它實際上是求和函式的逆過程。
例如：由幾何級數在收斂域 (-1,1) 的和函式 S(x)=11−x，通過逐項積分，可以推匯出 ln(1−x) 的展開式。
2，Taylor級數
從“求和函式的逆過程”來看待“函式的冪級數展開”有一定的侷限性——需要從已知和函式的級數出發去推導。那麼，有沒有一般的方法來判斷一個函式是否能展開成冪級數？怎麼展開？這種展開是唯一的嗎？
答案是：有！這就是Taylor級數（

Taylor Series）。
f(x)∼f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2+⋅⋅⋅+f(n)(x)n!(x−x0)n+⋅⋅⋅
Taylor級數展開是通過“求n階導”的方法，來確定如何將一個函式進行冪級數展開。很明顯，要進行Taylor級數展開，那麼首要條件就是這個函式要滿足無窮階可導。
事實上，函式能夠進行冪級數展開的充分條件：
|f(n)(x)|≤M
不但要滿足無窮階可導，且導函式要有界。
3，Taylor級數與Taylor公式
可以證明“函式的冪級數展開式是唯一的，正是Taylor級數”
這就要從前面學的Taylor公式說起啦：
f

(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2+⋅⋅⋅+f(n)(x)n!(x−x0)n+Rn(x)
上式右邊也稱為“Taylor多項式”。很明顯，“Taylor多項式”比“Taylor級數”的條件要寬泛得多，前者只需要n階可導（有限階），後者需要無窮階可導。
在《微積分B》5-5節的課程中，扈老師是這樣來證明（推導）Taylor公式的：先假設函式f(x)可以展開成一個多項式：
f(x)=C0+C1x+C2x2+⋅⋅⋅+Cnxn
然後通過對上式在 x=a這一點進行逐級求導，來確定係數數列 {Cn} 與導數數列 {f(n)(a)} 之間的關係。
最後證明函式f(x)與“Taylor多項式”的誤差 ϵ

=Rn(x)=o[(x−a)n+1]
此外，通過反證法可以證明“Taylor多項式的唯一性”。
從這個證明可以發現兩點：
1）Taylor多項式的適用範圍是 a 點及其附近（點的鄰域）；
2）f(x)與“Taylor多項式”的誤差隨著項數的增加而變小。
對於第二條，可以想象一下，當項數 n→∞ 時，Taylor多項式不就變成了Taylor級數了嗎？
事實上，可以證明，如果limn→+∞Rn(x)=0
那麼，f(x)就可以展開為Taylor級數。
回過頭來看第一條，Taylor多項式的適用範圍是點的鄰域，而Taylor級數是冪級數，它的收斂域是一個對稱的區間。可以證明，Taylor級數收斂區間的對稱點就是Taylor多項式的展開點。換個角度來看，Taylor級數是Taylor多項式的延伸，從點的鄰域向兩邊延伸從一個連續的對稱區間。
同樣地，可以證明“Taylor級數也是唯一的”，因為，函式的冪級數展開只能是Taylor級數展開。
4，Sympy - series expansions
Sympy中專門設立了一章介紹級數展開。我在前面做Unit Test 3 時，已經用到了“Sympy Core -> Series Expansion”中的“series()”函式。
總結：手動進行“函式的冪級數展開”一般有這麼兩個方法：一是從已知和函式的級數進行變形、積分或求導得出；二是應用Taylor公式。常用的5個重要的“Maclaurin Series”要熟悉，一般的級數展開都是從這個5個級數展開變形來的。link
ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1nxn,x∈(−1,1]
ex=∑n=0∞xnn!

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