Logistic Regression也叫Logit Regression，在機器學習中屬於引數估計的模型。邏輯迴歸與普通線性迴歸（Linear Regression）有很大的關係。在應用上，它們有所區別：

• 普通線性迴歸主要用於連續變數的預測，即，線性迴歸的輸出y的取值範圍是整個實數區間（y∈R）
• 邏輯迴歸用於離散變數的分類，即，它的輸出y的取值範圍是一個離散的集合，主要用於類的判別，而且其輸出值y表示屬於某一類的概率

一個單獨的邏輯迴歸函式只能判別兩個類，這裡用0和1表示. 邏輯迴歸的結果會給出一個概率p，表示屬於類別1的概率。既然是兩類問題，那麼屬於類別0的概率自然就是1−p。有沒有發現一點二項分佈（Binomial Distribution）的影子？

邏輯迴歸應用廣泛，而且因為給出的結果是一個概率，比單純的“是”或“不是”包含更多的資訊，因此大受人們喜愛（誤）。我們之前參加Kaggle廣告點選率預測競賽時使用的就是邏輯迴歸。因為使用者要麼點了廣告，要麼沒點，我們給出一個概率，就可以判斷使用者的點選廣告的可能性。這個預測看起來很簡單，的確是，模型很簡單的，難的地方在於features的分析，選取，綜合等，也就是常說的pre-processing。

文章內容

很多文章介紹邏輯迴歸時會直接給出一個叫sigmoid的函式，該函式的值域範圍是(0,1)，剛好是概率的取值範圍（也不完全是，因為是開區間）。本文會再稍微往前一點點，從引入sigmoid函式之前介紹一下Logistic Regression。文章只做簡單介紹（真的很簡單），不涉及引數估計的內容。

Odds與Logit函式

邏輯迴歸的輸入是一個線性組合，與線性迴歸一樣，但輸出變成了概率。而且邏輯迴歸用於預測兩類問題，類似一個伯努利試驗。假設在一個伯努利試驗中，成功的概率是p，失敗的概率是1−p，我們設邏輯迴歸的輸出是成功的概率p，那麼需要一個函式將邏輯迴歸的輸入（一個線性組合）與p聯絡起來。下面介紹這個函式，它的名字叫Logit.

我們定義：

Odds=p1−p(1)
上式很直觀，表示成功的概率是失敗概率的多少倍，中文叫做發生比。

對Odds取自然對數：

ln(Odds)=ln(p1−p)=ln(p)−ln(1−p)(2)
上式即為logit函式的定義，引數為p，記為：
l

ogit(p)=ln(Odds)(3)
logit(p)的影象如下所示，可以看到它的定義域是[0,1]，值域是R。

但我們要的是定義域是R，值域是[0,1]。於是我們求(3)式的反函式，並將引數p用另一個引數α表示，有：

logit−1(α)=11+e−α=eα1+eα(4)
上式中α可以取全體實數，而該函式的值域變成了(0,1)，這正是我們想要的效果。logit(p)的反函式logit−1(α)的名稱就是我們常常聽到的sigmoid函式。

輸入與輸出

在(4)式中，輸入的引數α可以是任何數，也可以將其作為一個線性組合輸入。例如，另

α=θ0+θ1x1+θ2x2
則(4)式的sigmoid函式可以寫成：
sigmoid(α)=logit−1(α)=eθ0+θ1x1+θ2x21+eθ0+θ1x1+θ2x2(5)
上式就是邏輯迴歸的一般用法。注意到它的輸入還是一個線性組合，跟線性迴歸的輸入是一樣的，只不過計算的時候比線性迴歸多了一層函式，因此這就是為什麼會有文章說邏輯迴歸的本質還是線性迴歸，也會看到有一些文章說在特徵到結果的對映中多加了一層函式對映，這個函式對映就是sigmoid。

(5)式是計算概率p的表示式，這個表示式也可以從logit函式來推導。因為logit(p)與一個線性組合是等價的（也再一次說明邏輯迴歸的本質還是線性迴歸）。

令logit函式等於一個線性組合（這是可以的，因為logit函式的定義域和值域與一個線性組合的定義域和值域是一樣的），即：

logit(p)=ln(p1−p)=θ0+θ1

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