玻爾茲曼分佈

Boltzmann distribution（又叫Gibbs distribution）本來是脫胎於熱力學和統計力學的分佈，但在量子力學和機器學習領域也得到了廣泛的應用。

注：Ludwig Eduard Boltzmann，1844～1906，奧地利物理學家，統計力學的奠基人之一。維也納大學博士，先後執教於格拉茨大學、維也納大學、慕尼黑大學和萊比錫大學。英國皇家學會會員。

資訊熵

設概率實驗X有n個可能的獨立結局，即n個隨機事件A1,…,An，每個隨機事件的概率為p1,…,pn。則資訊熵的定義為：

Hn=−k∑i=1npilnpi(1)

其中k為一正常數。可以看出H

n實際上是pi的泛函。

以下我們主要從資訊熵的角度出發研究玻爾茲曼分佈。但不能忽視的是，玻爾茲曼分佈最早脫胎於熱力學，而資訊熵與熱力學統計物理中的熵，雖然數學形式一致，但本質是不同的。兩者相差一個玻爾茲曼常數。參見：

資訊熵與熱力學統計物理中的熵有什麼區別和聯絡？

注：資訊熵的定義有多種，公式1給出的是Shannon熵的定義，除此之外還有von Neumann熵、Renyi熵等。以下如無特殊指出，資訊熵均指Shannon熵。

最大資訊熵原理

事實上，有些隨機事件其概率往往不可能直接計算，平常我們對具體問題作出處理時，掌握的僅僅是一些與隨機事件有關的隨機變數的統計平均值，以及某些其他制約條件。而當一個隨機變數的平均值給定時，還可以有多種概率分佈與之相容。現在的問題是如何從這些相容的概率分佈中挑選出“最可幾”的分佈來作為實際上的分佈。顯然，要做到這點，必須有個挑選標準，最大資訊熵原理就可作為這種挑選標準。

注：最可幾分布（Most Probable Distribution），又稱最概然分佈。它表徵在特定系統的特定狀態下，出現概率最大的分佈。從它的定義可以看出，它實際上並不是某種具體的分佈，而更像是符合某一特定目標的分佈。
比如，麥克斯韋-玻爾茲曼分佈、費米-狄拉克分佈和玻色-愛因斯坦分佈，是熱力學常見的三種最可幾分布。但它們所處的系統，以及系統的狀態各不相同。

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的，其主要思想是，在只掌握關於未知分佈的部分知識時，應該選取符合這些知識但熵值最大的概率分佈。其實質就是，在已知部分知識的前提下，關於未知分佈最合理的推斷就是符合已知知識最不確定或最隨機的推斷，這是我們可以作出的唯一不偏不倚的選擇，任何其它的選擇都意味著我們增加了其它的約束和假設，這些約束和假設根據我們掌握的資訊無法作出。

注：Edwin Thompson Jaynes，1922～1998，美國統計學家。普林斯頓大學博士，華盛頓大學教授。

假定系統涉及的M個隨機變數f(j)i(j=1,…,M)的期望值Fj已知，即：

Fj=∑i=1nf(j)ipi(2)

其中f(j)i表示第j個隨機變數在狀態i中的取值。pi滿足歸一化條件：

∑i=1npi=1(3)

將公式2和公式3所述的兩個約束，代入公式1，可得如下Lagrange乘子：

J(pi)=Hn/k−α(∑i=1npi−1)−∑j=1Mβj(∑i=1nf(j)ipi−Fj)=−∑i=1npilnpi−α∑i=1npi+α−∑j=1M∑i=1nβjf(j)ipi+∑j=1MβjFj

對pi求導，可得：

∂J(pi)∂pi=−lnpi−1−α−∑j=1Mβjf(j)i

令上式等於0，可得：

pi=exp(−1−α−∑

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