題目描述
眾所周知，一個有著6個人的宿舍可以有7個微信群（^_^，別問我我也不知道為什麼），然而事實上這個數字可以更大，因為每3個或者是更多的人都可以組建一個群，所以6個人最多可以組建42個不同的群。
現在，已知一間宿舍有N個人，並且每至少K個人都可以組建一個微信群，那麼他們最多可以組建多少個不同的微信群？
輸入
一行兩個整數N和K，表示宿舍中的人數和最少能夠組建微信群的人數
輸出
一行一個整數，即最多能組建多少個不同的微信群，由於這個數字很大，請輸出對10^9+7求餘後的結果
樣例輸入
6 3
樣例輸出
42
提示
對於30%的資料，3<=N<=10^3
對於60%的資料，3<=N<=10^6
對於100%的資料，3<=N<=10^9，3<=K<=10^5

此處記住一個定理 組合數 C(n,0)+C(n,1)+……..+C(n,n) =2^n 以此來計算第N個組合數所有可能之和

組合數模板：
C(n,m)= n! / m!*(n-m)!
預處理n(1e5)的階乘
預處理m(1e5)階乘的逆元

然後對所有組合數C(n,m) 直接計算分母(n!) × 逆元m！× 逆元(n-m)!

對於此題中，要求從C(n,k)的組合數求和到C(n,n)，直接用組合數模板然後for迴圈求和會超時，因為會有可能從3遍歷到1e9
因為k只到1e5，因此可以利用組合數 總和 2^n 減去前半段0 ~ k-1較短的遍歷求出總和，得到ans，後半段的組合數總和

根據組合數n的規律，對於C(n,i) i=0~k-1 可以根據當前值遞推出i+1的組合數，將當前值 乘 (n-i+1) 也就是當前分母-1，分子 乘 i 即可得到下一個組合數的值。
這樣可以以線性複雜度得到一個組合數N的所有組合值。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const LL MOD=1e9+7;
LL poww(LL x, LL n)///快速冪
{
    LL res = 1;
    while(n)
    {
        if
 
(n & 1) res =res*x%MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
///組合數模板
LL p[100005],f[100005];///p為階乘陣列，f為階乘的逆元
void init()///預處理
{
    p[0]=1;
    for (int i=1;i<=100000;++i)///計算階乘
        p[i]=p[i-1]*i%MOD;

    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=100000;++i)///計算逆元
        f[i]=poww(p[i],MOD-2);
    return ;
}
LL comb(int n,int m)///計算組合數
{
    return (f[m]*f[n-m])%MOD*p[n]%MOD;
}///分子---->  n!
 ///分母---->  m!*(n-m)!   計算逆元后相乘得到C(n,m)的組合數
int main()
{
    LL k,n;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&k)!=EOF)
    {
        LL ans=1;
        LL sum=poww(2,n);///  組合數總和！！！C(n,0)+C(n,1)+......+C(n,n)=2^n
        LL tmp=n;
        for(int i=2;i<=k;i++)
        {
            ans=(ans+tmp)%MOD;
//            printf("===%lld=====%lld\n",tmp,ans);
            tmp=((tmp*(n-i+1))%MOD*poww(i,MOD-2))%MOD;///線性計算組合數，分子*n-i+1,分母*i
        }
        ans=(sum-ans+MOD)%MOD;///減法運算取模，加上MOD再對MOD取模
        printf("%lld\n",ans);
    }///因為題目中計算K到N(1e9) 的組合數計算會超時，因此利用n的組合數總和2^n減去從0到k-1的組合數之和(較短段)，得到後半段k到n組合數之和(較長段)
}
//LL comb(LL n, LL m)///另一種組合數求法，在數塔中斜向求組合數
//{
//    if(m > n) return 0;
//    LL ret = 1;
//    m = min(n - m, m);
//    for(int i = 1; i <= m; i ++)
//    {
//        LL a = (n + i - m) % MOD;
//        LL b = i % MOD;
//        ret = ret * (a * mod_pow(b, MOD - 2) % MOD) % MOD;
//    }
//    sum=(sum%MOD+ret%MOD)%MOD;
//}
//
//LL Lucas(LL n, LL m)
//{
//    if(m == 0) return 1;
//    return comb(n % MOD, m % MOD) * Lucas(n / MOD, m / MOD) % MOD;
//}