演算法中常見的Math類問題總結（一）
演算法中Math（數學類問題總結一）
Nim Game（分石頭），A和B輪流分石頭，每人每次只能分1到3個，什麼樣的策略可以保證A總是贏的。
思路：若是A第一個拿並且總的石頭數多於3，那麼希望最終留下的是4個，因為剩4個時，無論B怎麼拿，A都是贏的。若B第一個拿，那麼希望最終剩下的永遠不要是4。道理同上。
If（n%4==1 || n%4==2 || n%4==3） return 1; else return 0;求兩個數之和，但是不能使用+或者-。
思路：既然題目要求不能用+或者—，那麼只能換種方式，最直接的就是想到用異或運算和&運算。若某位上的兩個數同時為1或者0，則異或後為0，若一個1，一個0，則異或後是1，這是加法運算中得到的正確結果。但是沒有考慮進位，當同時為1時，該為為0，但需要進位，此時我們再求兩個數的&運算，即為進位，並左移一位，講這個數和上面異或得到的數再遞迴上述類似的運算，直到&運算後為0，即沒有進位為止。
getSum{ if(b==0) return a; c=a^b; d=a&b; getSum(c,d);}Single Number（在一個整數陣列中，每個數都出現兩次，只有一個數只出現了一次，找出這個數）
思路：這種題目求和不行，最直接想到的就是進行位運算，再考慮用哪種位運算，我們知道兩個相同的數做^運算為0，那麼將所有的數做異或運算後，得到的就是隻出現一次的那個數了。由此題會引出很多類似的問題，大多都是不同的位運算結合來實現的。
Majority Element（找出整個陣列中出現頻率最高的那個整數，並且出現的次數多於[n/2]，並且）假設總有這樣的數存在的，個數多[n/2]的只有一個數。
思路1：這道題最簡單的做法就是先給陣列排序，然後統計相等元素的個數，找出最多的那個。但是這樣時間複雜度太高，至少是O（nlogn）。
思路2：用雜湊表實現。用map儲存，陣列中的當前元素的值為key，對應的他出現的次數為value，那麼最後找個value大與[n/2]的元素即可。
思路3：位運算。假設資料的數值範圍是(1,2^32-1)，那麼我們可以用32位來表示任何一個數。也就相當於一個大小為32的陣列來標記各個元素在每個位上出現的次數，最後將32位中次數大於[n/2]的刪選出來，轉換為十進位制，即為所求。Contains Duplicate（判斷陣列中是否存在重複的兩個元素，若有返回ture，否則false）。
思路：這道題很簡單，用set或者hashmap都可以快速實現。Set中每個元素只出現一遍，最後判斷set的大小和陣列的大小是否一樣即可。而map可以判斷是否已經存在這個元素就OK啦。
Add Digits（求數字各個位之和，直到變為一個數為止。例如：38： 3+8=11；1+1=2）
思路：這題目剛開始看上去，我能想到的就是迴圈或者遞迴了，一次一次的遍歷求，但是題目的要求確是不能用any loop or recursion。然後就蒙了，想了很久沒思路。但是這種題肯定是存在某種規律的，在1到9之間不停地迴圈。之後看了大神們的解答，果然是這樣。0單獨考慮外，從1開始，數字之和不停地在1到9之間迴圈，那麼如果這個數是9的倍數，他的最終結果是9，其他的就是n%9的結果了。原來如此簡單，功夫不夠，還得多練啊。
If(n==0) return 0; m = n%9; if(m==0) return 9; else return m;Move Zeros（把一個數組中的0全部挪到最後面去，保持陣列其他元素的相對位置不變，例如：nums=[0,1,0,3,12]），最後得到nums=[1,3,12,0,0]; 並且只能用替換的方法實現。
思路：這道題很簡單，設定兩個指標，從頭開始，一個是遍歷舊陣列，遇到一次判斷是不是0，另一個負責記錄新的陣列，講不是0的全部替換到該指標指向的當前位置。如下：
（ A -> 1； B -> 2； C -> 3 … Z -> 26 AA -> 27 AB -> 28）
思路：這道題其實和十進位制的規律一模一樣，變形的26進位制數。給了一個字串，計算得到是第幾列，也就是把字串轉化為對應的整數。（a[0]-‘A’+1）26+(a[1]-‘A’+1); 更直白的表達：如果是十進位制的數1342: 1（10^3）+3*(10^2)+4*(10^1)+2+(10^0); 對應於二十六進位制的數： ABCD：1*(26^3)+2*(26^2)+3*(26^1)+4*(26^0).Power of Two（判斷一個數是不是2的冪） num&(num-1) == 0 （這個最簡單）
思路1：第一反應想到的應該是二進位制，把2,4,8,16,32等2的冪轉換成2進賬可以發現，最高位為1，後面的全部為0。根據這個規律我們可以把n轉換為二進位制的字串，此時最低位對應的數字裡的最高位，我們只需要判斷最低位是否為1，並且其他為是否全部為0。
思路2：判斷一個數的冪可以轉換為對數來算，用換底公式，log以10為底的n除以log以10位底的2，此時是double型的，減去它的int型，看是否為0，若是整數，則是2的冪。
注意：由於整數的最小值即Integer.MinValue轉換為二進位制是不是正常的，需要單獨考慮，直接返回false。寫這種數字題時，切記注意考慮0,1，最大最小數這些敏感的數，做到萬無一失。Power of Three（判斷一個數是不是3的冪）
思路: 同上，用對數的方法判斷。
Power of Four（判斷一個數是不是4的冪）
思路：除了上面的換地公式，我們還可以借鑑2的思路來考慮這道題。
首先先判斷是不是2的冪，是2的冪之後再判斷與10101010101 做&運算是不是其本身。Happy Number（這道題定義了一種快樂數，就是說對於某一個正整數，如果對其各個位上的數字分別平方，然後再加起來得到一個新的數字，再進行同樣的操作，如果最終結果變成了1，則說明是快樂數，如果一直迴圈但不是1的話，就不是快樂數，那麼現在任意給我們一個正整數，讓我們判斷這個數是不是快樂數。）
思路：拿到這種題用肉眼看不出思路，那麼就多試幾個數，找找規律。果然會發現，在迴圈中必定會出現1和4，而且4繼續迴圈的話還會回到4，重複上述過程，這時的數就不是快樂數了，直接返回false，若是1的話就返回true；當然，如果沒發現這個規律的話，我們可以用set，將每次得到的結果儲存起來，若是再出現的話那一定是開始迴圈了，則返回，否則繼續。這種題，如果要是用很嚴格的數學證明結論的話，那比較難，希望有一天可以達到這種水平。
Ugly Number（定義為一個數的質因素只包含2，3，5）
思路：這道題很簡單，最直接的思路就是直接用該數不停地除以2，直到不能整除為止，同理，再除以3，5。看最終結果是不是為1。
Number of 1 bits（一個無符號整數，返回其二進位制形式中包含的1的個數）
思路：位運算。每次判斷整數n的最後一位是不是1，即讓n&1，之後將n右移一位。直到n=0。