Algorithms Part1課程第一週的Programming Assignment是Percolation問題，該問題是Union-Find演算法的一個應用例項。

模型描述：

Percolation即滲透過程，其模型如下：一個方形“水槽”（system）由N*N個方格（site）組成，每個方格有開啟（open）或關閉（blocked）兩個狀態，相鄰（即上下左右）的開啟格子能夠構成一條同路。如果一個格子處於開啟狀態，並且與頂端的一行能夠通過開啟的格子實現連通（connected）通路，我們說這個格子處於充滿水（full）的狀態；如果一個“水槽”（system）的頂端格子與底部格子通過開啟的格子實現了連通，我們稱這個“水槽”是可以滲透（percolates）的。如下圖所示：

問題描述：

本次作業要求實現上述模型，並計算出“水槽”達到滲透狀態時開啟格子的數量佔所有格子總數的比例（p）。通過蒙特卡洛模擬方法，採用多次模擬取樣進行p值的估算。對於不同大小的“水槽”有如下模擬曲線，左圖為20*20大小，右圖為100*100大小：

Percolation程式設計分析：

按照作業要求，需要按照以下API建立一個Percolation類作為資料抽象型別：

• Percolation(int N)：該構造方法對模型初始化，我們建立一個N*N大小的一維布林陣列作為“水槽”，陣列值記錄每個格子的開閉狀態，初始狀態為關閉。此外，我們需要另一個(N*N+2)大小的一維陣列儲存連通關係，根據Union-Find演算法的學習，我們建立型別為WeightedQuickUnionUF的陣列。大小之所以為(N*N+2)，是因為在檢查是否滲透的時候，可以通過在頂部與底部設定兩個虛擬點
  ，其與頂端或底部的一排是相連通的，這樣檢查是否滲透的時候，無需遍歷頂部或底部一排的每一個點，只需要檢查兩個虛擬點是否連通即可，如下圖所示：

• open(int i, int j)：檢查座標為(i, j)的點是否開啟，如果沒有開啟，則將其開啟。注意i，j的取值範圍為1~N。此外，開啟格子後，需要檢查其上下左右的格子是否同樣已經開啟，如果已經開啟，則通過WeightedQuickUnionUF的union()方法將兩個格子連通起來；另外根據作業要求，需要首先檢查是否越界，丟擲java.lang.IndexOutOfBoundsException()錯誤；
• isOpen(int i, int j)：只需要返回該點的開閉狀態值；
• isFull(int i, int j)：檢查該點是否已經開啟並且已經與頂部的虛擬點（相當於頂部的一排）連通，用WeightedQuickUnionUF的connected()方法檢測；
• percolates()：檢查頂部的虛擬點與底部的虛擬點是否連通，用WeightedQuickUnionUF的connected()方法檢測；

注意的一點是，在用一維陣列模擬二維“水槽”時，我們用i，j座標進行表示，(i, j)表示的是陣列中序號為(i - 1)*N + (j - 1)的元素；此外，由於虛擬點的設定，座標的對應容易出現混亂，需要首先考慮清楚這個問題。

更重要的一個問題：BackWash即迴流/倒灌問題，按照上面的方法設定虛擬點雖然使得檢查是否percolate變得方便，但如果水已經滲透到底部，由於虛擬點與底部一排都是連通的，則會通過底部開啟的格子向上“灌水”，如下圖所示：

解決的方法是：在構造方法中額外定義一個(N*N+1)大小的陣列，其不包括底部的虛擬點，其他與(N*N+2)大小的陣列一致，在isFull()方法中，我們使用這個(N*N+1)的陣列進行檢查，也就是說，如果底部的格子確實沒有與頂部的虛擬點連通，是不會“灌滿”的。下面用圖來說明這一過程：

PercolationStats程式設計分析：

用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法進行模擬分析，確定滲透閾值p，具體方法是：

• 初始化將所有N*N個格子置於關閉狀態；
• 每次隨機選擇一個格子進行開啟操作，直到系統達到滲透狀態；
• 統計此時開啟的格子數，與全部格子數相比計算一個p值的樣本；
• 獨立重複T次上述實驗，最後計算出T個p值的樣本，記為x1，x2……xT。

進行以下統計操作。

按照下式計算均值與方差：

假設T值足夠大（至少30次），則可以根據下式計算置信區間在95%的的滲透閾值範圍：

所有程式碼見本機。

總結：

如何根據API編譯JAVA程式：

1.把API所需要做的內容全都用文字詳細寫出來，每個步驟該做什麼；

2.可以寫出虛擬碼，類似於演算法課上所要求的，詳盡寫出；

3.選好資料結構，簡單變成不需要；

4.Coding

經驗教訓：

0.引數的加入，在Run--Run Configuration--Java application--Arguments--Program Arguments裡面加入text的含text的檔名，該檔案要存放在專案的子目錄下（進入專案的目錄放在和bin，src在一起）；

1.有bound限制條件的，先把bound寫好，再寫其他的條件（if(y-1>=0 && openState[x*N+(y-1)] )；

2.新建的物件一定要在建構函式裡面初始化，且不能在建構函式裡面再寫一次類名，否則會認為是一個新的物件；

grid = new WeightedQuickUnionUF(N*N+2);

WeightedQuickUnionUF grid;

3.若遇到“重複直到”，“repeat until”這樣的語句，要用到while進行判定；

while(!perco.percolates())

4.double/int = int, 出現出現很多隱藏錯誤，比如如下結果如果不轉化就是0. 需要重新令一個變數double x = int，然後再用除法相除。

doubletransferNsqure=N*N;

int opened++;

x[i]=opened/transferNsqure;