影象的放大與縮小(3)——雙立方插值演算法
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-----------------------------------一：數學原理
如果已知一個函式f(x)以及它在x=0,x=1處的導數，那麼函式可以在[0,1]之間插值，當函式
表達為三次多項式時我們稱之謂立方插值。一個三次多項式及其導數：
f(x) =ax^3 +bx^2 + cx + d
f’(x)=3ax^2 + 2bx +c
多項式在x=0, x=1處值及其導數值為：
f(0)= d;
f(1)= a + b + c + d;
f’(0)=c
f’(1)=3a + 2b + c
上述的四個等式可以等價的變換為:
a= 2f(0) – 2f(1) + f’(0) + f’(1)
b= -3f(0) + 3f(1) – 2f’(0) – f’(1)
c= f’(0)
d= f’(1)
假設你有四個點值p0, p1, p2, p3分別在x=-1, x=0, x=1, x=2, 把值分別指定到f(0), f(1), f’(0),
f’(1)中為:
f(0)= p1
f(1)= p2
f’(0)= (p2 – p0)/2
f’(1)= (p3-p1)/2
這個我們的立方插值公式變成:
f(p0,p1,p2,p3, x) = (-1/2p0 + 3/2p1 -3/2p2+ 1/2p3)x^3 + (p0-5/2p1 + 2p2 -1/2d)x^2 + (-1/2p0 +
1/2p2)x + p1
雙立方插值是立方插值在二維空間的表達, 插值公式可以表述為:
G(x, y) = f (f (p00, p01, p02, p03, y), f(p10,p11, p12, p13, y), f(p20, p21, p22, p23, y), f(p30, p31, p32, p33, y), x)
解出其中的16個引數，即可得帶G(x, y)目標插值點的值。
二：雙立方插值優缺點
雙立方插值在影象放大過程可以保留更多的影象細節，放大以後的影象帶有反鋸齒的功能，
同時影象和源影象相比效果更加真實, 缺點是計算量比較大，是常見的三種影象放大演算法中
計算量最大的一種，據說Photoshop的影象放大就是基本雙立方插值的優化演算法
三：程式執行效果如下：
四：關鍵程式碼解析
不想解釋太多，最重要的是代入計算的是浮點數座標的小數部分，即 x, y的取值範圍均在[0,1]之間
五：基於Java的程式完全原始碼
- package cn.edu.jxau.luoweifu;
- publicclass BiCubicInterpolationScale {
- privatestaticdouble a00, a01, a02, a03;
- privatestaticdouble a10, a11, a12, a13;
- privatestaticdouble a20, a21, a22, a23;
- privatestaticdouble a30, a31, a32, a33;
- privatestaticint srcWidth;
- privatestaticint srcHeight;
- /**
- * 雙立方插值
- * @param inPixelsData 畫素矩陣陣列
- * @param srcW 原影象的寬
- * @param srcH 原影象的高
- * @param destW 目標影象的寬
- * @param destH 目標影象的高
- * @return 處理後的推三矩陣陣列
- */
- publicstaticint[] imgScale(int[] inPixelsData, int srcW, int srcH, int destW, int destH) {
- double[][][] input3DData = processOneToThreeDeminsion(inPixelsData, srcH, srcW);
- int[][][] outputThreeDeminsionData = newint[destH][destW][4];
- double[][] tempPixels = newdouble[4][4];
- float rowRatio = ((float)srcH)/((float)destH);
- float colRatio = ((float)srcW)/((float)destW);
- srcWidth = srcW;
- srcHeight = srcH;
- for(int row=0; row<destH; row++) {
- // convert to three dimension data
- double srcRow = ((float)row)*rowRatio;
- double j = Math.floor(srcRow);
- double t = srcRow - j;
- for(int col=0; col<destW; col++) {
- double srcCol = ((float)col)*colRatio;
- double k = Math.floor(srcCol);
- double u = srcCol - k;
- for(int i=0; i<4; i++) {
- tempPixels[0][0] = getRGBValue(input3DData,j-1, k-1,i);
- tempPixels[0][1] = getRGBValue(input3DData,j-1, k, i);
- tempPixels[0][2] = getRGBValue(input3DData, j-1,k+1, i);
- tempPixels[0][3] = getRGBValue(input3DData, j-1, k+2,i);
- tempPixels[1][0] = getRGBValue(input3DData, j, k-1, i);
- tempPixels[1][1] = getRGBValue(input3DData, j, k, i);
- tempPixels[1][2] = getRGBValue(input3DData, j, k+1, i);
- tempPixels[1][3] = getRGBValue(input3DData, j, k+2, i);
- tempPixels[2][0] = getRGBValue(input3DData, j+1,k-1,i);
- tempPixels[2][1] = getRGBValue(input3DData, j+1, k, i);
- tempPixels[2][2] = getRGBValue(input3DData, j+1, k+1, i);
- tempPixels[2][3] = getRGBValue(input3DData, j+1, k+2, i);
- tempPixels[3][0] = getRGBValue(input3DData, j+2, k-1, i);
- tempPixels[3][1] = getRGBValue(input3DData, j+2, k, i);
- tempPixels[3][2] = getRGBValue(input3DData, j+2, k+1, i);
- tempPixels[3][3] = getRGBValue(input3DData, j+2, k+2, i);
- // update coefficients
- updateCoefficients(tempPixels);
- outputThreeDeminsionData[row][col][i] = getPixelValue(getValue(t, u));
- }
- }
- }
- return convertToOneDim(outputThreeDeminsionData, destW, destH);
- }
- privatestaticdouble getRGBValue(double[][][] input3DData, double row, double col, int index) {
- if(col >= srcWidth) {
- col = srcWidth - 1;
- }
- if(col < 0) {
-
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