第二章為“演算法分析”，該部分主要介紹了電腦科學中目前用於測量一個演算法的運行復雜的具體數學方法；同時給出了多個問題示例，對每個問題分別採用不同複雜度的演算法，可以直觀地瞭解到在解決實際問題時，不僅僅需要能夠得出結果的演算法，更應該給出演算法複雜度更低的演算法的意義

• 數學工具：“大O”表示法，用於估計一個程式執行所需要的時間
• 問題示例：採用更優的演算法，使得解決問題所需要的時間縮短几個量級
• 遞迴函式：舉例說明不良的遞迴導致演算法所複雜度極高

數學基礎

• 定義1：若∃c>0,n0>0使得當N≥n0時T(N)≤cf(N),則記為T(N)=O(f(N))
• 定義2：若∃c>
  0,n0>0使得當N≥n0時T(N)≥cf(N),則記為T(N)=Ω(f(N))
• 定義3：T(N)=Θ(h(N)), 當且僅當T(N)=O(h(N)) 且T(N)=Ω(h(N))
• 定義4：T(N)=o(h(N)), 當且僅當T(N)=O(h(N)) 且T(N)≠Θ(h(N))

以上四個定義中用於建立不同函式間執行時間的相對級別，稱為大O描述法。其中T（N）為函式的執行時間，N為運算的規模，如迴圈的次數，陣列大小等等。比較兩個函式在某個N下的實際執行時間值的絕對值的意義是不大的，因為程式執行的時間會受到很多特殊因素的影響，如迴圈中判斷是否應跳出迴圈，一個大的運算每次附帶的一個單次運算，這些特殊因素在N較大時對T（N）幾乎沒有影響，但在N較少時可能會佔據 較大比例；而且很多情況下程式會走向不同的分支，其執行時間是不一致的，也很難精確統計其執行時間。

大O描述則提供了一種反映函式計算時間的增長率的方法，其定義用極限可以表示為：若T(N)=O(f(N)), 則

limn→+∞T(N)f(N)=X
其中X為0或者常數，從直觀的角度可以理解為當N很大時，T(N)比f(N)數量級相等或更小。

有一點需要注意的是，若T（N）=N，則T(N)=O（N^2）和T(N)=O（N）均是成立的，但很顯然只有後者是有意義的，因為O（）包含了一個“大於等於”的含義，因此實際中是需要儘可能找到數量級相等的情況，換句話說，應該找到T(N)=Θ(h(N))，使用大O一方面是因為慣例，另外一方面是因為很多時候我們不能確定得到的h（N）是和T（N）等數量級的而只能確定其數量不會超過h(N)

大O分析基礎

計算模型

• 指令時長：實際計算機在執行不同指令的時間是很不一樣的，如執行乘法運算和執行賦值操作就會相差好幾倍，因此大O分析中假設計算機中只有少數幾個基本操作如加減乘除，且所有這些基本操作耗時是相等的，由於這些基本操作實際執行時間相差一般不會超過O(1)，所以這個假設對於N很大時是可以接受的
• 記憶體和變數範圍：認為計算時記憶體是無限大，因此不需要考慮缺頁中斷等額外消耗的時間，同時設定各種變數是有固定長度，如int型為32位，這是為了防止某些運算可以潛在地通過並行方式減少計算時間的可能，如假設int有64位，則理論上可以同時對兩組32位整數進行相加。

大O估算公式

對於大O估算而言基本公式有兩個，若T1(N)=O(f(N)),T2(N)=O(g(N))則：

• T1(N)+T2(N)=max(O(f(N)),O(g(N)))
• T1(N)∗T2(N)=O(f(N)∗g(N))

而對於大多數程式函式而言，其可能的複雜度形式有以下幾種：

複雜度	名稱
c	常數級
logN	對數級
log2N	對數平方級
N	線性級
NlogN	對數線性級
N2	平方級
N3	立方級
2N	指數級

其中複雜度從上到下依次遞增，對於實際可用的程式而言指數級往往是不可接受的，計算機實際能解決的問題目前只限於多項式複雜度以下，即O(Nk)複雜度以下，這些能用多項式複雜度解決的問題稱為P問題（Polynomial）,不確定是否能找到多項式複雜度解法的問題稱為NP問題（Nondeterministic Polynomial），而研究NP問題是否存在P演算法則是電腦科學的一個非常重要的研究方向，因為現實中大多數問題均是NP問題。
而對於以上這些常見覆雜度形式又有以下兩個經驗公式可以用於進行復雜度的比較：

• 若T(N)為一個N次多項式，則T(N)=Θ(Nk)`
• ∀k∈R,logkN=O(N),即log函式增長是非常緩慢的

以上是書上給出的公式，同時我自己在解題時也發現了一些沒有經過嚴格證明的經驗公式，大家可以參考：

• ∀k∈R,k>0;logN=O(Nk)
• ∀k1,k2∈R,k1,k2>0;logk1N=O(Nk2)

此外一個關於調和級數的求和公式也常常用到：

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