數學概念

1.矩陣的逆

定義：
設A是數域上的一個n階方陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=I。 則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。

條件：
A是可逆矩陣的充分必要條件：A是非奇異矩陣（當|A|≠0時，也就是A的行列式不等於0時，A稱為非奇異矩陣）

性質：
- 矩陣A可逆的充要條件是A的行列式不等於0。
- 可逆矩陣一定是方陣。
- 如果矩陣A是可逆的，A的逆矩陣是唯一的。
- 可逆矩陣也被稱為非奇異矩陣、滿秩矩陣。
- 兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
- 可逆矩陣的轉置矩陣也可逆。
- 矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

求逆方法

2.偽逆矩陣

定義：
偽逆矩陣又稱廣義逆，由於奇異矩陣或者非方陣不存在逆矩陣。

方法：
直接求解：
pinv(A)=(AT∗A)−1AT

SVD分解：
S1.[U,S,V]=svd(A)；
S2.將S中的非零元素求倒；
S3.svdInvA=V∗ST∗UT;

QR求解：

SparkSVD分解演算法

建立RowMatrix，檔案test.txt可以寫入：

1 2 6 4 
5 3 8 2 
4 9 5 4 
3 7 9 4

程式碼：

val rdd = sc.textFile("file/test.txt"
 
)
          .map(_.split(' ')
          .map(_.toDouble))
          .map(line => Vectors.dense(line));
val rm = new RowMatrix(rdd);
val SVD = rm.computeSVD(2, computeU = true);
println(SVD);

參考文獻：

[1]. 數學概念
[2]. 求偽逆的三種方法
[3]. Spark MLlib機器學習實戰 王曉華著. 清華大學出版社