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題意

有 n 個點，0,1,2,...,n−1，對於沒對點 <i,j>(0≤i<j<n)，有一條 i→j 邊，流量為 iXorj，問從 0 到 n−1 的最大流。

思路

首先，0 到 n−1 必須要割；

其次，對於任意一個 i，0→i 與 i→n−1 至少要割一個。考慮 i 在 n−1 的最高位是否為 0，如果為 0，就割 0→i，否則割 i→n−1.

這樣割，肯定有一個點為分界線（100…0），前面的所有點與 n−1 連通而不與 0 連通，後面的所有點與 0 連通而不與 n−1 連通，於是 0 和 n−1 就割開了。

現在的問題就是怎麼求割下來的各條邊的流量和。

當 i

當 i 的最高位為 1 時，割 i→n−1，考慮從低位往高位去找 n−1 中為 1 的位（除了最高位），不妨設當前為第 j 位，則可以對從最高位到第 j+1 位都與 n−1 相同，而第 j 位為 0的數求和。
對於這些數，其 j−1 到 0 位與 n−1 的異或值就是 1+2+3+...+((1<<j)−1)；第 j 位與 n−1 的異或值是 1<<j；最高位到第 j+1 與n−1 的異或值為 0.

Code

#include <bits/stdc++.h>
 

typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
LL n;
void work() {
    if (n == 2) { printf("1\n"); return;}
    --n;
    int len = 0;
    LL nn = n;
    while (nn) ++len, nn >>= 1;
    LL ans = (1LL << (len-2)) % mod * (((1LL << (len-1)) - 1 + mod) % mod) % mod;
    (ans += n) %= mod
 
;
    for (int i = 0; i < len-1; ++i) {
        if (n & (1LL << i)) {
            if (i == 0) (ans += 1) %= mod;
            else (ans += (((3LL << i) % mod - 1 + mod) % mod * ((1LL << (i-1)) % mod)) % mod) %= mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    while (scanf("%lld", &n) != EOF) work();
    return 0;
}