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POJ 2060 (最小路徑覆蓋)

  題意:在二維的平面中,給出一些任務,每個任務要求在指定的時間,必須有一輛taxi從起點出發,並最終到達終點,由於可能產生時間衝突(具體參詳題目),所以可能需要多輛taxi,問需要最少的taxi數量是多少。

  構圖:可以將每個任務看成一個點,如果兩個任務的時間沒有衝突,則從時間較早的任務點向時間較晚的任務點連線一條有向邊,顯然,這幅圖的任意一條路徑上的任務都可以由一輛taxi來完成,題目所求變成找出最少的路徑數量,使得這些路徑能覆蓋圖上的所有節點。

  到此,題目變成了求最小路徑覆蓋問題,最小路徑覆蓋數 = 總節點數 – 最大獨立集數(最大匹配數),這是被證明了的公式,因此可以將原圖拆點,構成二分圖(起點在左圖,終點在右圖),求最大匹配數即可。在網上看到了一個重要的小細節,直接連結

// 188 Ms
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#define N 510
using namespace std;
 
struct Data {
    int begin, end;
    int x1, y1, x2, y2;
}o[N];
vector<int> G1[N];
int match[N];
bool mark[N];
 
int DFS(int n, int cur) {
    for (int i = 0; i < G1[cur].size(); i++) {
        int u = G1[cur][i];
        if (mark[u]) continue;
        mark[u] = 1;
        if (!match[u] || DFS(n, match[u])) {
            match[u] = cur; return 1;
        }
    }
    return 0;
}
 
int main() {
    int Case, n;
    scanf("%d", &Case);
    while (Case--) {
        memset(G1, 0, sizeof(G1));
        memset(match, 0, sizeof(match));
        scanf("%d", &n);
        int a, b;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d:%d %d %d %d %d", &a, &b, &o[i].x1, &o[i].y1, &o[i].x2, &o[i].y2);
            o[i].begin = a * 60 + b;
            o[i].end = o[i].begin + abs(o[i].x1-o[i].x2) + abs(o[i].y1-o[i].y2);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                int dis = abs(o[i].x2 - o[j].x1) + abs(o[i].y2 - o[j].y1);
                if (o[i].end + dis < o[j].begin)
                    G1[i].push_back(j);
            }
        }
        // 構圖
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            memset(mark, 0, sizeof(mark));
            cnt += DFS(n, i);
        }
        // 計算最大二分匹配
        printf("%d\n", n - cnt);
    }
    return 0;
}