什麽是FFT

既然打開了這篇博客，大家肯定都已經對FFT(Fast Fourier Transformation)有一點點了解了吧
FFT即為快速傅裏葉變換，可以快速求卷積（當然不止這一些應用，但是我不會）

系數表示法與點值表示法

我們通常表示一個\(n-1\)次多項式是利用系數表示法like this:\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\)
點值表示法即為將多項式用坐標系上的若幹個點表示
我們對這個多項式代入不同的值{\(x_1,x_2,...,x_n\)}
我們就可以得到\(n\)個點\((x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),...,(x_n,f(x_n))\)

DFT與IDFT

DFT

我們若將一個多項式強行轉為點值表示法則時間復雜度為\(O(n^2)\)
自然有人表示：太慢啦，就不能快點嗎！
於是我們開始思考，如果我們對於\((x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),...,(x_n,f(x_n))\)取一系列特殊的有關系的值，是不是能加速呢？
當然可以，要不然就不會有這篇博客了
在DFT中，我們可以將復平面中的單位園n等分，然後每一等分的頂點\(\omega _n^i\)作為\(x_i\)，\(\omega _n^i\)

就是單位根
（如圖為\(8\)等分）

其中\(\omega _n^i=\cos (\frac{{2\pi i}}{n}) + i\sin (\frac{{2\pi i}}{n})\)
當然DFT只是讓\((x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),...,(x_n,f(x_n))\)變得特殊了一些，並沒有優化復雜度的效果（要不然哪來的FFT）

IDFT

IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform)顧名思義就是DFT的逆變換（當然我不會，這個東西，可以會，但沒必要）

關於單位根

首先，顯然\(\omega _{2n}^{2i}=\omega _n^i\)

FFT

遞歸解法

FFT(Fast Fourier Transformation)快速傅裏葉變換，有了上面這些東西，我們就可以考慮對原多項式進行變形
\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\)
\(=(a_0+a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2})\)
是不是發現這兩個東西很像啊
我們設\(f_1(x)=(a_0+a_2x+...+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1}),f_2(x)=(a_1+a_3x+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1})\)
所以\(f(x)=f_1(x^2)+xf_2(x^2)\)
我們發現，\(f_1(x),f_2(x)\)和\(f(x)\)的形式一樣誒！
也就是說我們現在這個FFT已經可以用遞歸解決了！
然而，遞歸自帶sb大常數，時間上並不能通過
於是，厲害的人們又發現了新的操作，蝴蝶變換

蝴蝶變換

首先我們令\(i<\frac{n}{2}\)
\(f(\omega _n^i)=f_1({(\omega _n^i)}^2)+\omega _n^if_2({(\omega _n^i)}^2)\)
\(=f_1(\omega _n^{2i})+\omega _n^if_2(\omega _n^{2i})\)
\(=f_1(\omega _{\frac{n}{2}}^i)+\omega _n^if_2(\omega _{\frac{n}{2}}^i)\)
\(f(\omega _n^{i+\frac{n}{2}})=f_1({(\omega _n^i)}^2\omega _n^n)+\omega _n^{i+\frac{n}{2}}f_2({(\omega _n^i)}^2\omega _n^n)\)
\(=f_1(\omega _n^{2i})-\omega _n^if_2(\omega _n^{2i})\)
\(=f_1(\omega _{\frac{n}{2}}^i)-\omega _n^if_2(\omega _{\frac{n}{2}}^i)\)
是不是很神奇，是不是！
就差了一個符號，是不是很蝴蝶啊(親愛的，你慢慢飛，小心...)
有了蝴蝶變換，我們發現我們只要知道\(f_1(\omega _{\frac{n}{2}}^i),f_2(\omega _{\frac{n}{2}}^i)\)就可以求出\(n\)等分下兩個不同單位根帶入後的點值了，是不是很厲害！

rev數組

但是我們又發現了一個新的問題，每次我們合並的時候，都是把要求的序列分為奇數位和偶數位做
可是我們原數組並不符合這個條件，直接做的話肯定死
我們可以研究一下每個數字和它的二進制表示
以8個數為例：

但是我們合並的順序應該長成這樣：
（讀者可以自己模擬一下，段長每次為\(2^k\)，然後合並）
我們發現，其實如果把每個數的二進制位反過來一下，就變成順序的了！

把二進制反過來其實也不復雜，就一行代碼

rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1))

其實這段代碼的意義大概是把除了最低位之外的位用i>>1翻轉，然後再將最低位移到最高位
也就是說，做FFT的時候只要將系數重新排列，然後每段進行合並更新就好啦（這段看一下代碼就會很清楚）

IFFT

IFFT(Inverse Discrete Fourier Transform)快速傅立葉逆變換
實際上我們的傅立葉變換可以寫成矩陣的形式：
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}\\ {{a_1}}\\ {{a_2}}\\ {...}\\ {{a_{n - 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{...}&1\\ 1&{\omega _n^1}&{\omega _n^2}&{...}&{\omega _n^{n - 1}}\\ 1&{\omega _n^2}&{\omega _n^4}&{...}&{\omega _n^{2n - 2}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ 1&{\omega _n^{n - 1}}&{\omega _n^{2n - 2}}&{...}&{\omega _n^{(n - 1) \times (n - 1)}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(\omega _n^0)}\\ {f(\omega _n^1)}\\ {f(\omega _n^2)}\\ {...}\\ {f(\omega _n^{n - 1})} \end{array}} \right]\)
當然，看到這個形式，我們第一個想法就是對
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{...}&1\\ 1&{\omega _n^1}&{\omega _n^2}&{...}&{\omega _n^{n - 1}}\\ 1&{\omega _n^2}&{\omega _n^4}&{...}&{\omega _n^{2n - 2}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ 1&{\omega _n^{n - 1}}&{\omega _n^{2n - 2}}&{...}&{\omega _n^{(n - 1) \times (n - 1)}} \end{array}} \right]\)
這個矩陣求逆，但是這樣的話，復雜度就吃不消了，我們好不容易把\(O(n^2)\)的DFT降為\(O(nlogn)\)的FFT，結果逆不回去，這不是非常尷尬嗎
但是我們發現，我們對這個矩陣求一下逆，可以得到這個形式是固定的
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{n}}&{\frac{1}{n}}&{\frac{1}{n}}&{...}&{\frac{1}{n}}\\ {\frac{1}{n}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{ - 1}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{ - 2}}&{...}&{\frac{1}{n}\omega _n^{1 - n}}\\ {\frac{1}{n}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{ - 2}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{ - 4}}&{...}&{\frac{1}{n}\omega _n^{2 - 2n}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {\frac{1}{n}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{1 - n}}&{\frac{1}{n}\omega _n^{2 - 2n}}&{...}&{\frac{1}{n}\omega _n^{ - (n - 1) \times (n - 1)}} \end{array}} \right]\)
然後我們可以把\(\frac{1}{n}\)提出來，那麽我們就可以先利用快速傅立葉變換，做出系數的\(n\)倍，然後再除掉
坑終於填完啦

FFT_Code

這是一個高精乘的模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
char s[60050],s1[60050];
struct r{
    double real,image;
}a[131090],b[131090];
double pi=acos(-1);
r operator +(r a,r b){return (r){a.real+b.real,b.image+a.image};}
r operator -(r a,r b){return (r){a.real-b.real,a.image-b.image};}
r operator *(r a,r b){return (r){a.real*b.real-b.image*a.image,a.real*b.image+a.image*b.real};}
int ans[131090],rev[131090],bit,n,l;
void fft(r *a,int n,int op){
    for (int i=0;i<n;i++)if (i<rev[i])std::swap(a[rev[i]],a[i]);
    for (int i=1;i<n;i<<=1){
        r wn=(r){cos(pi/i),op*sin(pi/i)};//將單位圓分成i*2個部分
        for (int j=0;j<n;j+=i<<1){
            r wnk=(r){1,0};
            for (int k=j;k<i+j;k++,wnk=wnk*wn){
                r x=a[k],y=wnk*a[i+k];
                a[k]=x+y;
                a[k+i]=x-y;//這裏很蝴蝶
            }
        }
    }
    if (op==-1)for (int i=0;i<n;i++)a[i].real/=n;
}
int main(){
    scanf("%d",&l);
    scanf("%s",s);
    scanf("%s",s1);
    int n=2;
    for (bit=1;(1<<bit)<(l<<1)-1;bit++)n<<=1;
    for (int i=0;i<l;i++)a[i]=(r){(double)(s[l-i-1]-'0'),0};
    for (int i=0;i<l;i++)b[i]=(r){(double)(s1[l-i-1]-'0'),0};
    for (int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));//處理rev數組
    fft(a,n,1);
    fft(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,n,-1); //IFFT
    for (int i=0;i<n;i++){
        ans[i]+=(a[i].real+0.5);
        ans[i+1]=ans[i]/10;
        ans[i]%=10;
    }
    int i;
    for (i=n;i>=0&&!ans[i];i--);
    if (i<0)putchar('0');
    else for (;i>=0;i--)printf("%d",ans[i]);
}

FFT學習及簡單應用（一點點詳細）