01背包問題

問題描述

　有n種物品，每種只有一個，第 i 種 物品的體積為V_i ，重量為 W_i。選一些物品裝到一個容量為C的背包，使得總體積不超C的情況下，重量盡量大。

問題分析

這個問題可以把每一件物品視作一次決策，每次決策只有選與不選兩種選擇。

我們設d[ i ][ j ]為第1件物品到第 i 件物品，放到載重為 j 的背包中的最大價值。

因此狀態轉移方程為

\[d[i][j] = \max (d[i - 1][j],d[i - 1][j - w[i]] + v[i])\]

我們可以寫出代碼

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 0; j <= c; j++) {
		d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i - 1][j]);
		if
 
 (j >= W[i])
				d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][j - W[i]] + V[i]);
	}
}

那麽我這個算法還可以在空間復雜度上優化一下嗎？如果我們能把數組d改為一維數組，那肯定再好不過了。

但是要保證，每一階段的決策，我們要在修改上一階段的值後，不在使用她的值。

我們可以用一個樣例運行一下這個代碼。

3 5
2 3
3 5
4 7

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 0; j <= c; j++) {
		d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i - 1][j]);
		if
 
 (j >= W[i]) {
			d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][j - W[i]] + V[i]);
			cout << "更改d" << j << " 使用" << j - W[i] << endl;
		}
	}
	cout << endl;
}

我們發現我們當我們用上一個階段來修改當前階段的值時，上述算法，會出現“交叉”的情況。

比如我們修改了d[i][2]，但是第七行我們就用到了，d[i-1][2]，因此如果我們想把d設為一維數組，這樣得出的答案肯定錯的，因為這時候的d[2]已經不是上一個階段的d[2]了。

如果我們把第二層循環的循環方向修改一下，是不是會有所改善？

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = c; j >= 0; j--) {
		d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i - 1][j]);
		if (j >= W[i]) {
			d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][j - W[i]] + V[i]);
			cout << "更改" << j << " 使用" << j - W[i] << endl;
		}
	}
	cout << endl;
}

這一次打印的結果，沒有出現剛才那種“交叉”情況（使用前，修改了對應標號的值）。

最終經過空間優化後的算法

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = c; j >= 0; j--) {
		if (j >= W[i])
			d[j] = max(d[j], d[j - W[i]] + V[i]);
	}
}

完全背包問題

問題描述

有n種物品，每種有無窮多個，第 i 種 物品的體積為V_i ，重量為 W_i。選一些物品裝到一個容量為C的背包，使得總體積不超C的情況下，重量盡量大。

題目分析

01背包問題中，我們所作的決定只是拿與不拿的選擇，而完全背包問題，我們還要考慮拿幾個的問題。

\[d[i][j] = \max (d[i - 1][j],d[i - 1][j - k*w[i]] + k*v[i])\]

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = c; j >= 0; j--) {
		d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i - 1][j]);
		for (int k = 0; k * W[i] <= j; k++) {
			d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][j - k * W[i]] + k * V[i]);
		}
	}
}

那我們還能像01背包問題一樣優化嗎，當然可以。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = W[i]; j <= c; j++) {
		d[j] = max(d[j], d[j - W[i]] + V[i]);
	}
}

那麽現在我們可以發現，內層循環是順序的，而01背包問題是逆序的，這兩者有什麽區別和聯系嗎？

01背包問題，我們需要用上一階段的值，來更新本階段的值，而背包問題是重量小的狀態來更新質量大的狀態(因為j-w[i])，因此逆序保證了更新的過程中，不會更改接下來要用到的上一階段的值。

完全背包問題，我們需要用本階段的值，來更新本階段的值，因此要順序。

01背包 完全背包 算法解析