一篇不大正經的關於數論的總結(未完
頂函數（\(\lceil {x} \rceil\)）、底函數（\(\lfloor {x} \rfloor\)）：
常稱之為高斯（取整）函數。
定義：
頂函數：\(\geq {x}\)的最小整數。
底函數：\(\leq {x}\)的最大整數。
舉個例子：
\(1.\lceil {1.5} \rceil=2\)
\(2.\lfloor {1.5} \rfloor=1\)
\(3.\lceil {-1.5} \rceil=-1\)
\(4.\lfloor {-1.5} \rfloor =-2\)
帶余除法：
定義:
\(對於任意整數a,b（a\geq b,b\neq 0）,\)\(存在q,r,滿足a=qb+r（0\leq r \leq |b|）,且q，r唯一\)
我們把a叫做被除數，b叫做除數，q叫做商，r叫做余數。
可以證明\(q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)（證明如下）
\(\because這個是很顯然的\)
\(\therefore q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)
整除：
定義：如果\(a\)能把\(b\)除盡，余數為0，那麽就說是\(b\)
整除的性質：
- 自反性：對於任意\(n\)，有\(n|n\)。
- 傳遞性：若\(a|b,b|c\)，那麽\(a|c\)。
- 反對稱性：若\(a|b,b|a\)，即\(a=b\)。（對稱性：若\(a\)滿足\(b\cdots\)關系，那麽\(b\)也滿足\(a\cdots\)關系）
若\(b|a,c|b\)，則\(c|a\)。（證明如下）
\(\because b|a,c|b\)
\(\therefore（所以必然存在兩個整數x，y）使得a=xb\)，\(b=yc\)
\(又\therefore a=xyc\)
\(\because a/c=xy\)
\(\therefore c|a\)若\(c|a,c|b\)，則對任意數\(x,y\)，必有\(c |（ax+by）。\)（證明如下）
\(\because c|a,c|b\)
\(\therefore （所以必然存在兩個整數p，q）使得a=pc\)，\(b=qc\)
\(又\therefore c |（pcx+qcy）\)
\(c|c（px+qy）\)
\(\because 兩邊都有c\)
\(\therefore c（px+qy）是c的倍數\)
\(又\therefore c|(ax+by)\)若\(b|a,a\neq 0\)，則有\(|b| \leq |a|\)。（證明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一個整數q）使得a=qb\)
\(又\therefore a是b的倍數，|b| \leq |a|\)。若\(b|a,a\neq 0\)，則\(\left( \frac ab \right)|a\)。（證明如下）
\(\because b|a\)
\(\therefore （所以必然存在一個整數q）使得a=qb\)
\(又\therefore \left( \frac {a}{b} \right)=\left( \frac {qb}{b} \right)=q\)
\(\because a是q的倍數\)
\(\therefore q|a\)
\(又\therefore \left(\frac{a}{b}\right)|a\)若\(b|a,c|a,b\bot c\)，則\(bc|a\)。（舉例如下）
\(1.當a=12,b=1,c=6時，1|12,6|12,1\bot12,6|12。\)
\(2.當a=72,b=8,c=9時，8|72,9|72,8\bot9,72|72。（自反性：72|72）\)- 若\(a|b,b|a\)，則\(|a|=|b|\)。（反對稱性）
若\(a|b\)，對任意整數\(c\)，則\(a|bc\)。（證明如下）
\(\because a|b\)
\(\therefore b=xa，b是a的倍數\)
\(又\therefore乘上任意整數c，bc依舊是a的倍數\)
\(又\therefore a|bc\)若\(a|b\)，對於任意整數\(m（m\neq0）\)，則\(ma|mb\)。（證明如下）
\(\because 這是顯然的\)
\(\therefore ma|mb\)唯一分解定理（算術基本定理）：
\(n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*\cdots\)
其中\(p_i\)是質數，\(p_1=2,p_2=3 \cdots\)以此類推結論：
設\(p\)為質數，對於任意整數\(a\)，則有\(p|a\)或者\((p,a)=1\)。（證明如下）
\(\because p為質數\)
$\therefore a要麽是p的倍數，要麽p\perp a。 $
\(又\therefore p|a或者(p,a)=1\)約數和倍數：
推論：
在算術基本定理中，若\(N\)被唯一分解為\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\),其中\(c_i\)是正整數，\(p_i\)是質數且滿足\(p_1<p_2<\cdots p_m\),則\(N\)的正整數集合可寫作\(：\)
{\(p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_m^{b_m}\)},其中\(0\leq b_i \leq c_i\)
N的正約數個數為\(:\)
\[(c_1+1)*(c_2+1)*\cdots*(c_m+1)=\prod_{i=1}^{m}(c_i+1)\]
\(N\)的所有正約數之和為\(:\)
\[(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{c_1})*\cdots*(1+p_m+p_m^2+\cdots+p_m^{c_m})=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^{j})\]定義：
若\(a|b,a\)是\(b\)的約數，\(b\)是\(a\)的倍數，稱\(a\)為\(b\)的因子（對於任何數\(n\)，至少有兩個因子\(1\)和\(n\)本身，稱它們為\(n\)的平凡因子，其他即為非平凡因子）。特別的，任何正整數都是\(0\)的約數。
約數的求法：
1.試除法：
因為約數總是成對出現，所以只需要從\(1\) ~\(\sqrt{n}\)。時間復雜度\(:O(\sqrt{n})\)
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
//clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {
if(n%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
//clock_t ends = clock();
//cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}2.倍數法：
如果更改題意，給出\(l,r\)，要求求\(l-r\)之間的每個數的正約數集合。那麽再用試除法，時間復雜度就為\(O(N\sqrt{N})\)，變得有點惡心，特別是在\(N\)非常大的時候。譬如跑\(1-100000\)。消耗的時間如下：
運行代碼如下：
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int l,r;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>l>>r;
clock_t start = clock();
for(int j=l; j<=r; ++j) {
memset(a,0,sizeof(a));
cnt=0;
// cin>>n;
for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {
if(j%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
cout<<"\n";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}一篇不大正經的關於數論的總結(未完