量子隱形傳態是量子糾纏的又一個應用。

隱形傳態，所謂隱形的意思就是沒有物質介質就傳遞了資訊，在經典世界，傳遞資訊要有介質，光、電磁波或者其他的什麼，但是在量子的世界裡，我可以把資訊傳遞給你，並且不傳遞任何一個量子位元。

量子不能克隆原理

不能克隆就是說，沒有任何一個U操作，可以輸入\(|\psi\rangle\) 和 \(|0\rangle\) 然後得到輸出 \(|\psi\rangle\) 和 \(|\psi\rangle\) 。

why?

若是真的有這麼一個操作算符，如圖a，可以複製任意的量子位元 \(|u\rangle\) 我們希望的結果如下：

輸入：\((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)|0\rangle\)

輸出：\((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)\)

另一方面

我們希望輸入是\(|00\rangle\)輸出也是\(|00\rangle\)，當輸入變成\(|10\rangle\)後，輸出也就變成\(|11\rangle\)

而要以上兩種情況相等，只有一種可能，即\(|u\rangle\)是\(|0\rangle\)或者\(|1\rangle\)的時候，但是這樣，也就沒有疊加態的，這樣複製的，也就是一個普通的bit。

Teleportation CNOT

那麼，如果要把一個自己不知道是什麼狀態的 \(|u\rangle=\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 傳遞，要怎麼辦呢？

圖b是前面介紹過的CNOT門，有CNOT門，我們很容易就可以把 \(\alpha_0 | 00\rangle +\alpha_1 | 10\rangle\)變成 \(\alpha_0 | 00\rangle +\alpha_1 | 11\rangle\) 。

此時並沒有被複制，因為第一個位元和第二個位元之間還是糾纏的，也就是說你測量第一個位元，第二個就會坍縮，你測量第二個，第一個也同理，資訊並沒有copy兩份，所以量子不可複製原理沒有被打破。

接下來我們要來處理第一個位元。

如果直接測量第一個位元，很明顯，第二個位元就坍縮了。

但是測量還是要測的，不過不是在 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 基，而是在 \(| +\rangle\) 、 \(| -\rangle\) 基。

\[\begin{align}|\psi\rangle&=\alpha_0|00\rangle + \alpha_1|11\rangle\\&=\alpha_0(\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|-\rangle)|0\rangle+\alpha_1(\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|-\rangle)|1\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle(\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle(\alpha_0|0\rangle - \alpha_1|1\rangle) \end{align}\]

在 \(| +\rangle\) 、 \(| -\rangle\) 基對第一個位元測量：
如果測量的結果是 \(|+\rangle\) ，那麼第二位元的狀態就是 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) ，正好是我們最初想要傳遞的態。

如果測量的結果是 \(|-\rangle\) ，那麼第二位元的狀態就是 \(\alpha_0 | 0\rangle -\alpha_1 | 1\rangle\) ，再經過Z門的翻轉就是我們最初想要傳遞的態了。

參考資料
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lectur