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圖片來源：pexels.com/@divinetechygir

在這篇指南中，我們將建立起一個任意層數的深度神經網路。這個神經網路可以應用於二元分類的監督學習問題。

圖1 神經網路構造的例子（符號說明：上標[l]表示與第l層；上標（i）表示第i個例子；下標i表示向量第i項）

單層神經網路

圖2 單層神經網路示例

神經元模型是先計算一個線性函式（z=Wx+b），接著再計算一個啟用函式。一般來說，神經元模型的輸出值是a=g(Wx+b)，其中g是啟用函式（sigmoid,tanh, ReLU, …）。

資料集

假設有一個很大的資料庫，裡面記錄了很多天氣資料，例如，氣溫、溼度、氣壓和降雨率。

問題陳述：

一組訓練資料m_train，下雨標記為（1），不下雨標記為（0）。

一個測試資料組m_test，標記是否下雨。

每一個天氣資料包含x1=氣溫，x2=溼度，x3=氣壓。

機器學習中一個常見的預處理步驟是將資料集居中並標準化，這意味著從每個示例中減去整個numpy陣列的平均值，然後將每個示例除以整個numpy陣列的標準偏差。

通用方法（建立部分演算法）

使用深度學習來建造模型

1. 定義模型構造（例如，資料的輸入特徵）

2. 初始化引數並定義超引數

迭代次數

在神經網路中的L層的層數

隱藏層大小

學習率α

3. 迭代迴圈

正向傳播（計算電流損耗）

計算成本函式

反向傳播（計算電流損耗）

升級引數（使用背景引數和梯度）

4. 使用訓練引數來預測標籤

初始化

更深層次的L-層神經網路的初始化更為複雜，因為有更多的權重矩陣和偏置向量。下表展示了不同結構的各種層級。

表1 L層的權重矩陣w、偏置向量b和啟用函式z

表2 示例架構中的神經網路權重矩陣w、偏置向量b和啟用函式z

表2幫助我們為圖1中的示例神經網路架構的矩陣準備了正確的維度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

nn_architecture = [
{"layer_size": 4,"activation": "none"}, # input
 layer
{"layer_size": 5,"activation": "relu"},
{"layer_size": 4,"activation": "relu"},
{"layer_size": 3,"activation": "relu"},
{"layer_size": 1,"activation": "sigmoid"}
]
def initialize_parameters(nn_architecture, seed = 
3):
np.random.seed(seed)
# python dictionary containingour parameters
 "W1", "b1", ..., "WL","bL"
parameters = {}
number_of_layers = len(nn_architecture)

for l in range(1,number_of_layers):
parameters['W' + str(l)] =np.random.randn(
nn_architecture[l]["layer_size"],nn_architecture[l-1]["layer_size"]
) * 0.01
parameters['b' + str(l)]
 =np.zeros((nn_architecture[l]["layer_size"], 1))
return parameters

程式碼段1 引數初始化

使用小隨機數初始化引數是一種簡單的方法，但同時也保證演算法的起始值足夠好。

記住：

· 不同的初始化工具，例如Zero,Random, He or Xavier，都會導致不同的結果。

· 隨機初始化能夠確保不同的隱藏單元可以學習不同的東西（初始化所有權重為零會導致，所有層次的所有感知機都將學習相同的東西）。

· 不要初始化為太大的值。

啟用函式

啟用函式的作用是為了增加神經網路的非線性。下例將使用sigmoid and ReLU。

Sigmoid輸出一個介於0和1之間的值，這使得它成為二進位制分類的一個很好的選擇。如果輸出小於0.5，可以將其分類為0；如果輸出大於0.5，可以將其分類為1。

def sigmoid(Z):
S = 1 / (1 + np.exp(-Z))
return S

def relu(Z):
R = np.maximum(0, Z)
return R

def sigmoid_backward(dA, Z):
S = sigmoid(Z)
dS = S* (1 - S)
return dA * dS

def relu_backward(dA, Z):
dZ = np.array(dA, copy = True)
dZ[Z <= 0] = 0
return dZ

程式碼段2 Sigmoid和ReLU啟用函式，及其衍生物

在程式碼段2中，可以看到啟用函式及其派生的向量化程式設計實現。該程式碼將用於進一步的計算。

正向傳播

在正向傳播中，在層l的正向函式中，需要知道該層中的啟用函式是哪一種（sigmoid、tanh、ReLU等）。前一層的輸出值為這一層的輸入值，先計算z，再用選定的啟用函式計算。

圖3 神經網路的正向傳播

線性正向模組（對所有示例進行向量化）計算以下方程式：

方程式1 線性正向函式

def L_model_forward(X, parameters,
 nn_architecture):
forward_cache = {}
A = X
number_of_layers =len(nn_architecture)

for l in range(1,number_of_layers):
A_prev = A
W = parameters['W' + str(l)]
b = parameters['b' + str(l)]
activation =nn_architecture[l]
["activation"]Z, A =linear_activation_forward(A_prev, W, b,
 activation)
forward_cache['Z' + str(l)] =Zforward_cache['A' + str(l)] =A

AL = A

return AL, forward_cache

def linear_activation_forward(A_prev, W, b, 
activation):
if activation =="sigmoid":
Z = linear_forward(A_prev, W,b)
A = sigmoid(Z)
elif activation =="relu":
Z = linear_forward(A_prev, W,b)
A = relu(Z)

return Z, A
def linear_forward(A, W, b):
Z = np.dot(W, A) + b
return Z

程式碼段3 正向傳播模型

使用“cache”（python字典包含為特定層所計算的a和z值）以在正向傳播至相應的反向傳播期間傳遞變數。它包含用於反向傳播計算導數的有用值。

損失函式

為了管程學習過程，需要計算代價函式的值。下面的公式用於計算成本。

方程式2 交叉熵成本

def compute_cost(AL, Y):
m = Y.shape[1]

# Compute loss from AL and y
logprobs =np.multiply(np.log(AL),Y) + 
np.multiply(1 - Y, np.log(1 - AL))
# cross-entropy cost
cost = - np.sum(logprobs) / m

cost = np.squeeze(cost)

return cost

程式碼段4 代價函式的計算

反向傳播

反向傳播用於計算引數的損失函式梯度。該演算法是由微分學中已知的“鏈規則”遞迴使用的。

反向傳播計算中使用的公式：

方程式3 反向傳播計算公式

鏈式法則是計算複合函式導數的公式。複合函式就是函式套函式。

方程式4 鏈規則示例

“鏈規則”在計算損失時十分重要（以方程式5為例）。

方程式5 損失函式（含替換資料）及其相對於第一權重的導數

神經網路模型反向傳播的第一步是計算最後一層損失函式相對於z的導數。方程式6由兩部分組成：方程式2損失函式的導數（關於啟用函式）和啟用函式“sigmoid”關於最後一層Z的導數。

方程式6 從4層對z的損失函式導數

方程式6的結果可用於計算方程式3的導數。

方程式7 損失函式相對於3層的導數

在進一步計算中，使用了與第三層啟用函式有關的損失函式的導數（方程式7）。

方程式8 第三層的導數

方程式7的結果和第三層活化函式“relu”的導數用於計算方程式8的導數（損失函式相對於z的導數）。然後，我們對方程式3進行了計算。

我們對方程9和10做了類似的計算。

方程式9 第二層的導數

方程式10 第一層的導數

總體思路

從第一層層對z的損失函式導數有助於計算（L-1）層（上一層）對損失函式的導數。結果將用於計算啟用函式的導數。

圖4 神經網路的反向傳播

def L_model_backward(AL, Y, parameters,
 forward_cache, nn_architecture):
grads = {}number_of_layers =len(nn_architecture)
m = AL.shape[1]
Y = Y.reshape(AL.shape) # afterthis line, Y is
 the same shape as AL

# Initializing thebackpropagation
dAL = - (np.divide(Y, AL) -np.divide(1 - Y, 1 - 
AL))
dA_prev = dAL

for l in reversed(range(1,number_of_layers)):
dA_curr = dA_prev

activation =nn_architecture[l]["activation"]
W_curr = parameters['W' +str(l)]
Z_curr = forward_cache['Z' +str(l)]
A_prev = forward_cache['A' +str(l-1)]

dA_prev, dW_curr, db_curr
 =linear_activation_backward(dA_curr, Z_curr,

 A_prev, W_curr, activation)

grads["dW" +str(l)] = dW_curr
grads["db" +str(l)] = db_curr
return grads
def linear_activation_backward(dA, Z, A_prev, W, 
activation):
if activation =="relu":
dZ = relu_backward(dA, Z)
dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
elif activation =="sigmoid":
dZ = sigmoid_backward(dA, Z)
dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)

return dA_prev, dW, db
def linear_backward(dZ, A_prev, W):
m = A_prev.shape[1]

dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
db = np.sum(dZ, axis=1,keepdims=True) / m
dA_prev = np.dot(W.T, dZ)

return dA_prev, dW, db

程式碼段5 反向傳播模組

更新引數

該函式的目標是通過梯度優化來更新模型的引數。

def update_parameters(parameters, grads,
 learning_rate):
L = len(parameters)

for l in range(1, L):
parameters["W" +str(l)] = parameters["W" +
 str(l)] - learning_rate *grads["dW" + str(l)]
parameters["b" +str(l)] = parameters["b" +
 str(l)] - learning_rate *grads["db" + str(l)]

return parameters

程式碼段6 使用梯度下降更新引數值

全模型

神經網路模型的完整實現包括在片段中提供的方法。

def L_layer_model(X, Y, nn_architecture, 
learning_rate = 0.0075,num_iterations = 3000,
 print_cost=False):
np.random.seed(1)
# keep track of cost
costs = []

# Parameters initialization.
parameters 
=initialize_parameters(nn_architecture)

# Loop (gradient descent)
for i in range(0,num_iterations):

# Forward propagation:[LINEAR -> RELU]*(L-1) -> 
LINEAR -> SIGMOID.
AL, forward_cache =L_model_forward(X, parameters, 
nn_architecture)

# Compute cost.
cost = compute_cost(AL, Y)

# Backward propagation.
grads = L_model_backward(AL,Y, parameters, 
forward_cache, nn_architecture)

# Update parameters.
parameters =update_parameters(parameters, grads, 
learning_rate)

# Print the cost every 100training example
if print_cost and i % 100 ==0:
print("Cost afteriteration %i: %f" %(i, cost))

costs.append(cost)

# plot the cost
plt.plot(np.squeeze(costs))
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (pertens)')
plt.title("Learning rate=" + str(learning_rate))
plt.show()
return parameters

程式碼段7 整個神經網路模型

只需要將已知的權重和系列測試資料，應用於正向傳播模型，就能預測結果。

可以修改snippet1中的nn_架構，以構建具有不同層數和隱藏層大小的神經網路。此外，準備正確實現啟用函式及其派生函式（程式碼段2）。所實現的函式可用於修改程式碼段3中的線性正向啟用方法和程式碼段5中的線性反向啟用方法。

進一步改進

如果訓練資料集不夠大，則可能面臨“過度擬合”問題。這意味著所學的網路不會概括為它從未見過的新例子。可以使用正則化方法，如L2規範化（它包括適當地修改成本函式）或退出（它在每次迭代中隨機關閉一些感知機）。

我們使用梯度下降來更新引數和最小化成本。你可以學習更多高階優化方法，這些方法可以加快學習速度，甚至可以為成本函式提供更好的最終價值，例如：

· 小批量梯度下降

· 動力

· Adam優化器

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