資料結構與演算法—遞迴(階乘、斐波那契、漢諾塔)
目錄
- 遞迴介紹
- 遞迴求階乘
- 遞迴求斐波那契
- 遞迴解決漢諾塔
- 總結
遞迴介紹
遞迴：就是函式自己呼叫自己。 子問題須與原始問題為同樣的事，或者更為簡單；
遞迴通常可以簡單的處理子問題，但是不一定是最好的。
對於遞迴要分清以下概念：
- 自己呼叫自己
- 遞迴通常
不在意具體操作，只關心初始條件和上下層的變化關係。 - 遞迴函式
需要有臨界停止點，即遞迴不能無限制的執行下去。通常這個點為必須經過的一個數。 - 遞迴通常能被其他方案替代(棧、陣列正向求)。
認識遞迴，遞迴函式通常簡易但是對於初學者可能很難取理解它。拿一個遞迴函式來說。
static void digui() { System.out.println("bigsai前"); digui(); System.out.println("bigsai後"); }
是一個遞迴吧？不是正常遞迴，沒有結束條件，自己一致呼叫自己死迴圈。
那正確的遞迴應該這樣
static void digui(int time)
{
if(time==0) {}//time==0不執行
else {
System.out.println("bigsai前time: "+time);
digui(time-1);
System.out.println("bigsai後time: "+time);
}
}
對於這樣一種遞迴，它的執行流程大致是這樣的
所以，呼叫dugui(5)在控制檯輸出是這樣的
那麼，我想你對遞迴函式執行的流程應該有所瞭解了吧。
遞迴求階乘
求 n!=n*(n-1)*-----*1=n!=n*(n-1)
所以階乘的上下級的關係很容易找到。我們假設一個函式jiecheng(n)為求階乘的函式。
這個階乘，你可以這樣命名：
int jiecheng(int n)
{
int va=1;
for(int i=n;i>0;i--)
{
va*=i;
}
return i;
}
但是你還可以簡便這樣：
static int jiecheng(int n) { if(n==0)//0的階乘為1 { return 1; } else { return n*jiecheng(n-1);//return n*(n-1)*jiecheng(n-2)=------- } }
執行流程為這樣：
遞迴求斐波那契
按照上述思想，我們假設求斐波那契設成F(n)；
首先，斐波那契的公式為：
F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)- 也就是除了n=1和2特殊以外，其他均是可以使用遞推式。
那麼遞推實現的程式碼為：
static long F(int n)
{
if(n==1||n==2) {return 1;}
else {
return F(n-1)+F(n-2);
}
}
其實它的呼叫流程為：
當然，其效率雖然不高，可以打表優化，後面可能還會介紹矩陣快速冪優化！
遞迴解決漢諾塔
漢諾塔是經典遞迴問題：
相傳在古印度聖廟中，有一種被稱為漢諾塔(Hanoi)的遊戲。該遊戲是在一塊銅板裝置上，有三根杆(編號A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按順序放置64個金盤(如下圖)。遊戲的目標：把A杆上的金盤全部移到C杆上，並仍保持原有順序疊好。操作規則：每次只能移動一個盤子，並且在移動過程中三根杆上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置於A、B、C任一杆上。
- 如果A只有一個（A->C）
- 如果A有兩個（A->B）,(A->C),(B->C)
- 如果A有三個（A->C）,(A->B),(C->B),(A->C),(B->A),(B->C),(A->C).
- 如果更多，那麼將會爆炸式增長。
可以發現每增加一步，其中的步驟會多很多。但是不妨這樣想：
- 當有1個要從A->C時，且已知移動方式。使用函式表示move（a->c）。同理其他move操作。
- -------
省略中間若干步驟不看，用遞迴思想看問題
分析：n個從a—>c和n-1個a—>c有什麼聯絡？(hannuo(n)—>hannuo(n-1)有啥關係)
假設有n個盤子
- hannuo(n-1)之後n-1個盤子從A—>C.
- 此時剩下底下最大的，只能移動到B，
move(A,B)
- 那麼你是否發現什麼眉目了，只需原先的huannuo(n-1)相同操作從C—>B即可完成轉移到B；那麼我們的之前函式應該寫成
hannuo(n-1,A,C)但是又用到B，所以把B傳進來hannuo(n-1,A,B,C)先表示為從n-1個從A(藉助B執行若干操作)轉到C。
- 這一系列操作使得將n個盤子從A—>B但是我們要的是A—>C才是需要的hannuo(n,A,B,C);那麼我們只需要
更改下hannuo(n-1,----)順序就好啦！
經過上面分析，那麼完整的操作為：
package 遞迴;
public class hannuota {
static void move(char a,char b)
{
System.out.println("移動最上層的"+ a+ "到"+ b+ "\t");
}
static void hannuota(int n,char a,char b,char c)//主要分析每一大步對於下一步需要走的。
{
if(n==1) {move(a,c);}//從a移到c
else
{
hannuota(n-1,a,c,b);//將n-1個從a藉助c移到b
move(a,c); //將第n（最後一個）從a移到c。
hannuota(n-1,b,a,c);//再將n-1個從b藉助a移到c
}
}
public static void main(String[] args)
{
hannuota(5,'a','b','c');
}
}
總結
其實遞迴在某些場景的效率是很低下的。尤其是斐波那契.從圖你就可以發現一個簡單的操作有多次重複。因為它的遞迴呼叫倆個自己.那麼它的遞迴的膨脹率是指數級別的，重複了大量相同計算。當然這種問題也有優化方案的：
- 從前往後打表計算，採用類似動態規劃的思想。從前往後考慮。比如斐波那契F[n]=F[n-1]+F[n-2];那麼我
用陣列儲存。從第三項開始F[3]=F[2]+F[1](均已知)，再F[4]=F[3]+F[2]-----這樣，時間複雜度是O(N),線性的。 - 當然，對於階乘那種遞迴雖然
時間是沒有減少，但是如果需要多次訪問一個階乘，那麼可以採用同樣思想(打表)解決問題。
最後，筆者能力有限，如果有描述不恰當還請指正，感謝前面動態圖(未找到原作者)和漢諾塔動圖開源作者isea533的開源作品。同時，如果有喜歡學習交流的歡迎關注筆者公眾號：bigsai 回覆資料結構贈送精美資料一份！