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1 什麼是啟用函式¶

 

啟用函式是深度學習，亦或者說人工神經網路中一個十分重要的組成部分，它可以對神經元的接收資訊進行非線性變換，將變換後的資訊輸出到下一層神經元。啟用函式作用方式如下公式所示：

  $$y = Activation(\sum\limits_i^N {{w_i} \cdot {x_i} + b} )$$  

其中，$Activation()$就是啟用函式。

 

為什麼要使用啟用函式呢？當我們不用啟用函式時，網路中各層只會根據權重$w$和偏差$b$只會進行線性變換，就算有多層網路，也只是相當於多個線性方程的組合，依然只是相當於一個線性迴歸模型，解決複雜問題的能力有限。我們希望我們的神經網路能夠處理複雜任務，如語言翻譯和影象分類等，線性變換永遠無法執行這樣的任務。啟用函式得加入能對輸入進行非線性變換，使其能夠學習和執行更復雜的任務。

另外，啟用函式使反向傳播成為可能，因為啟用函式的誤差梯度可以用來調整權重和偏差。如果沒有可微的非線性函式，這就不可能實現。

總之，啟用函式的作用是能夠給神經網路加入一些非線性因素，使得神經網路可以更好地解決較為複雜的問題。

 

2 常用啟用函式¶

2.1 sigmoid函式¶

 

sigmoid函式可以將整個實數範圍的的任意值對映到[0,1]範圍內，噹噹輸入值較大時,sigmoid將返回一個接近於1的值,而當輸入值較小時,返回值將接近於0。sigmoid函式數學公式和函式影象如下所示：

  $$f(x) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}$$  

 

感受一下TensorFlow中的sigmoid函式：

In [1]:

import tensorflow as tf
x = tf.linspace(-5., 5.,6)
x

Out[1]:

<tf.Tensor: id=3, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([-5., -3., -1.,  1.,  3.,  5.], dtype=float32)>

 

有兩種方式可以呼叫sigmoid函式：

In [2]:

tf.keras.activations.sigmoid(x)

Out[2]:

<tf.Tensor: id=4, shape=(6,), dtype=float32, numpy=
array([0.00669285, 0.04742587, 0.26894143, 0.7310586 , 0.95257413,
       0.9933072 ], dtype=float32)>

In [3]:

tf.sigmoid(x)

Out[3]:

<tf.Tensor: id=5, shape=(6,), dtype=float32, numpy=
array([0.00669285, 0.04742587, 0.26894143, 0.7310586 , 0.95257413,
       0.9933072 ], dtype=float32)>

 

看，$x$中所有值都對映到了[0,1]範圍內。

 

sigmoid優缺點總結：

• 優點：輸出的對映區間(0,1)內單調連續，非常適合用作輸出層，並且比較容易求導。

• 缺點：具有軟飽和性，即當輸入x趨向於無窮的時候，它的導數會趨於0，導致很容易產生梯度消失。

 

2.2 relu函式¶

 

Relu（Rectified Linear Units修正線性單元），是目前被使用最為頻繁得啟用函式，relu函式在x<0時，輸出始終為0。由於x>0時，relu函式的導數為1，即保持輸出為x，所以relu函式能夠在x>0時保持梯度不斷衰減，從而緩解梯度消失的問題，還能加快收斂速度，還能是神經網路具有稀疏性表達能力，這也是relu啟用函式能夠被使用在深層神經網路中的原因。由於當x<0時，relu函式的導數為0，導致對應的權重無法更新，這樣的神經元被稱為"神經元死亡"。

relu函式公式和影象如下：

  $$f(x) = \max (0,x)$$  

 

在TensorFlow中，relu函式的引數情況比sigmoid複雜，我們先來看一下：

 

tf.keras.activations.relu( x, alpha=0.0, max_value=None, threshold=0 )

• x：輸入的變數
• alpha：上圖中左半邊部分影象的斜率，也就是x值為負數（準確說應該是小於threshold）部分的斜率，預設為0
• max_value：最大值，當x大於max_value時，輸出值為max_value
• threshold：起始點，也就是上面圖中拐點處x軸的值

In [4]:

x = tf.linspace(-5., 5.,6)
x

Out[4]:

<tf.Tensor: id=9, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([-5., -3., -1.,  1.,  3.,  5.], dtype=float32)>

In [5]:

tf.keras.activations.relu(x)

Out[5]:

<tf.Tensor: id=10, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([0., 0., 0., 1., 3., 5.], dtype=float32)>

In [6]:

tf.keras.activations.relu(x,alpha=2.)

Out[6]:

<tf.Tensor: id=11, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([-10.,  -6.,  -2.,   1.,   3.,   5.], dtype=float32)>

In [7]:

tf.keras.activations.relu(x,max_value=2.)  # 大於2部分都將輸出為2.

Out[7]:

<tf.Tensor: id=16, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([0., 0., 0., 1., 2., 2.], dtype=float32)>

In [8]:

tf.keras.activations.relu(x,alpha=2., threshold=3.5)  # 小於3.5的值按照alpha * (x - threshold)計算

Out[8]:

<tf.Tensor: id=27, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([-17., -13.,  -9.,  -5.,  -1.,   5.], dtype=float32)>

 

2.3 softmax函式¶

 

softmax函式是sigmoid函式的進化，在處理分類問題是很方便，它可以將所有輸出對映到成概率的形式，即值在[0,1]範圍且總和為1。例如輸出變數為[1.5,4.4,2.0]，經過softmax函式啟用後，輸出為[0.04802413, 0.87279755, 0.0791784 ],分別對應屬於1、2、3類的概率。softmax函式數學公式如下：

  $$f({x_i}) = \frac{{{e^{{x_i}}}}}{{\sum\limits_i {{e^{{x_i}}}} }}$$ In [9]:

tf.nn.softmax(tf.constant([[1.5,4.4,2.0]]))

Out[9]:

<tf.Tensor: id=29, shape=(1, 3), dtype=float32, numpy=array([[0.04802413, 0.87279755, 0.0791784 ]], dtype=float32)>

In [10]:

tf.keras.activations.softmax(tf.constant([[1.5,4.4,2.0]]))

Out[10]:

<tf.Tensor: id=31, shape=(1, 3), dtype=float32, numpy=array([[0.04802413, 0.87279755, 0.0791784 ]], dtype=float32)>

In [11]:

x = tf.random.uniform([1,5],minval=-2,maxval=2)
x

Out[11]:

<tf.Tensor: id=38, shape=(1, 5), dtype=float32, numpy=
array([[ 1.9715171 ,  0.49954653, -0.37836075,  1.6178164 ,  0.80509186]],
      dtype=float32)>

In [12]:

tf.keras.activations.softmax(x)

Out[12]:

<tf.Tensor: id=39, shape=(1, 5), dtype=float32, numpy=
array([[0.42763966, 0.09813169, 0.04078862, 0.30023944, 0.13320053]],
      dtype=float32)>

 

2.4 tanh函式¶

 

tanh函式無論是功能還是函式影象上鬥魚sigmoid函式十分相似，所以兩者的優缺點也一樣，區別在於tanh函式將值對映到[-1,1]範圍，其數學公式和函式影象如下：

  $$f(x) = \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} = \frac{{1 - {e^{ - 2x}}}}{{1 + {e^{ - 2x}}}}$$  

In [13]:

x = tf.linspace(-5., 5.,6)
x

Out[13]:

<tf.Tensor: id=43, shape=(6,), dtype=float32, numpy=array([-5., -3., -1.,  1.,  3.,  5.], dtype=float32)>

In [14]:

tf.keras.activations.tanh(x)

Out[14]:

<tf.Tensor: id=44, shape=(6,), dtype=float32, numpy=
array([-0.99990916, -0.9950547 , -0.7615942 ,  0.7615942 ,  0.9950547 ,
        0.99990916], dtype=float32)>

 

3 總結¶

 

神經網路中，隱藏層之間的輸出大多需要通過啟用函式來對映（當然，也可以不用，沒有使用啟用函式的層一般稱為logits層），在構建模型是，需要根據實際資料情況選擇啟用函式。TensorFlow中的啟用函式可不止這4個，本文只是介紹最常用的4個，當然，其他啟用函式大多是這幾個啟用函式的變種。