09 線性迴歸及矩陣運算

線性迴歸

1. 定義：通過一個或者多個自變數與因變數之間進行建模的迴歸分析。其中可以為一個或者多個自變數之間的線性組合。

2. 一元線性迴歸：涉及到的變數只有一個
   多元線性迴歸：變數兩個或以上

3. 通用公式：h(w) = w0 + w1x1 + w2x2 + ....= wTx
   其中w,x 為矩陣：wT=(w0, w1, w2) x=（1，x1, x2)T

迴歸的應用場景 （連續型資料）

1. 房價預測
2. 銷售額預測 （廣告，研發成本，規模等因素）
3. 貸款額度

線性關係模型

1. 定義： 通過屬性 (特徵) 的線性組合來進行預測的函式：
   • f(x) = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ...... + wdxd + b
   • w : weight (權重） b: bias (偏置項）
   • 多個特徵： (w1:房子的面積， w2:房子的位置 ..)

損失函式（誤差）

1. 《統計學習方法》 - 演算法 ，策略， 優化

• 線性迴歸， 最小二乘法，正規方程 & 梯度下降

1. 損失函式（誤差大小）

• yi 為第i個訓練樣本的真實值
• hw(xi)為第i個訓練樣本特徵值組合預測函式 （預測值）
  

1. 尋找最優化的w
   1. 最小二乘法之正規方程 （直接求解到最小值，特徵複雜時可能沒辦法求解）
      • 求解：w= (xTx）-1 xTy
      • X 為特徵值矩陣，y為目標值矩陣
        
      • 缺點: 特徵過於複雜時，求解速度慢
        

   2. 最小二乘法之梯度下降
      

      • 使用場景：面對訓練資料規模龐大的任務
      • 超引數：a
        

線性迴歸演算法案例

API

1. sklearn.linear_model.LinealRegression()

• 普通最小二乘法線性迴歸
• coef_: 迴歸係數 （w值)

1. sklearn.linear_model.SGDRegressir()

• 通過使用SGD最小化線性模型
• coef_: 迴歸係數
• 不能手動指定學習率

波士頓房價預測

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def mylinear():
    """
    線性迴歸預測房價
    :return: None
    """
    # 1. 獲取資料
    lb = load_boston()

    # 2. 分割資料集到訓練集和測試集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)
    print(y_train, y_test)

    # 3. 進行標準化處理(特徵值和目標值都必須標準化處理）
    # 例項化兩個標準化API,特徵值和目標值要用各自fit
    # 特徵值
    std_x = StandardScaler()
    x_train = std_x.fit_transform(x_train)
    x_test = std_x.transform(x_test)

    std_y = StandardScaler()
    y_train = std_y.fit_transform(y_train)
    y_test = std_y.transform(y_test)

    # 4. estimator預測
    # 4.1 正規方程求解預測結果
    lr = LinearRegression()
    lr.fit(x_train, y_train)
    print(lr.coef_)
    y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
    print('正規方程測試集裡面每個房子的預測價格：', y_lr_predict)
    print('正規方程的均方誤差：',mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test),y_lr_predict))

    # 4.1 梯度下降進行梯度預測
    sgd = SGDRegressor()
    lr.fit(x_train, y_train)
    print(sgd.coef_)
    y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
    print('梯度下降測試集裡面每個房子的預測價格：', y_sgd_predict)
    print('梯度下降的均方誤差：', mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict))
    return None


if __name__ == '__main__':
    mylinear()
 

迴歸效能評估

均方誤差 （Mean Squared Error MSE) 評價機制

• mean_squared_error(y_true, y_pred)
• 真實值和預測值為標準化話之前的值
  

兩種預測方式的選擇

1. 樣本量選擇
   樣本量大於100K --> SGD 梯度下降
   樣本量小於100K --> 其他

1. 特點：線性迴歸器是最為簡單、易用的迴歸模型，在不知道特徵之間關係的情況下，
   可以使用線性迴歸器作為大多數系統的首要選擇。LinearRegression 不能解決擬合問題。

過擬合與欠擬合

1. 定義：

   1. 過擬合（overfitting)：一個假設在訓練資料上能夠獲得比其他假設更好的擬合，但是在訓練資料外卻不能很好擬合。（模型過於複雜）
      模型複雜的原因： 資料的特徵和目標值之間的關係不僅僅是線性關係。

   2. 欠擬合（underfitting)：一個假設在訓練資料上不能獲得更好的擬合，但是在訓練資料外也不能很好的擬合。 （模型過於簡單）
      

欠擬合原因及解決方法

1. 原因： 學習到的資料特徵過少
2. 解決方法： 增加資料的特徵數量

過擬合原因及解決方法

1. 原因： 原始特徵過多，存在一些嘈雜特徵，模型過於複雜是因為模型嘗試去兼顧各個測試資料點
2. 解決方法：
   • 進行特徵選擇，消除關聯性很大的特徵（人為排除，很難做）
   • 交叉驗證（讓所有資料都有過訓練）- 檢驗但不能解決
   • 正則化 ：不斷嘗試，減少權重（高次項特徵的影響）
3. 特徵選擇：
   • 過濾式：低方差特徵
   • 嵌入式：正則化，決策樹，神經網路
     

（減少高指數項係數，趨近於0，減少權重）

L2正則化

1. 作用：可以使得W的每個元素都很小，都接近於0
2. 優點：越小的引數說明模型越簡單，越簡單的模型越不容易產生過擬合現象。
3. 迴歸解決過擬合的方式：
   L2正則化， Ridge：嶺迴歸：帶有正則化的線性迴歸，解決過擬合。

Ridge API

sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0)
- 具有L2正則化的線性最小二乘法
- alpha: 正則化力度 0~1（小數）， 1~10（整數）
- coef_: 迴歸係數

正則化力度對權重的影響 （力度越大，越趨向於0）

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor, Ridge
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def mylinear():
    """
    線性迴歸預測房價
    :return: None
    """
    # 1. 獲取資料
    lb = load_boston()

    # 2. 分割資料集到訓練集和測試集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)
    print(y_train, y_test)

    # 3. 進行標準化處理(特徵值和目標值都必須標準化處理）
    # 例項化兩個標準化API,特徵值和目標值要用各自fit
    # 特徵值
    std_x = StandardScaler()
    x_train = std_x.fit_transform(x_train)
    x_test = std_x.transform(x_test)

    std_y = StandardScaler()
    y_train = std_y.fit_transform(y_train)
    y_test = std_y.transform(y_test)

    # 4. estimator預測
    # 4.1 正規方程求解預測結果
    lr = LinearRegression()
    lr.fit(x_train, y_train)
    print(lr.coef_)
    y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
    print('正規方程測試集裡面每個房子的預測價格：', y_lr_predict)
    print('正規方程的均方誤差：',mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test),y_lr_predict))

    # 4.2 梯度下降進行梯度預測
    sgd = SGDRegressor()
    lr.fit(x_train, y_train)
    print(sgd.coef_)
    y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
    print('梯度下降測試集裡面每個房子的預測價格：', y_sgd_predict)
    print('梯度下降的均方誤差：', mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict))

    # 4.3 嶺迴歸預測
    rd = Ridge(alpha=1.0)
    rd.fit(x_train, y_train)
    print(rd.coef_)
    y_rd_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
    print('嶺迴歸測試集裡面每個房子的預測價格：', y_rd_predict)
    print('嶺迴歸的均方誤差：', mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_rd_predict))


    return None


if __name__ == '__main__':
    mylinear()

線性迴歸LinearRegression 與 Ridge對比

嶺迴歸：迴歸得到的迴歸係數更符合實際，更可靠。另外，能讓估計引數的波動範圍變小，變得更穩定。在存在病態資料偏多的研究中有較大的使用價值