【演算法】遞迴
遞迴
- 遞迴實現的原理：
一個遞迴函式的呼叫過程類似於多個函式的巢狀的呼叫，只不過呼叫函式和被呼叫函式是同一個函式。為了保證遞迴函式的正確執行，系統需設立一個工作棧。具體地說，遞迴呼叫的內部執行過程如下：- 運動開始時，首先為遞迴呼叫建立一個工作棧，其結構包括值參、區域性變數和返回地址；
- 每次執行遞迴呼叫之前，把遞迴函式的值參、區域性變數的當前值以及呼叫後的返回地址壓棧；
- 每次遞迴呼叫結束後，將棧頂元素出棧，使相應的值參和區域性變數恢復為呼叫前的值，然後轉向返回地址指定的位置繼續執行。
- 注意：在我們瞭解了遞迴的基本思想及其數學模型之後，我們如何才能寫出一個漂亮的遞迴程式呢？我認為主要是把握好如下三個方面：
- 明確遞迴函式的作用；
- 明確遞迴終止條件與對應的解決辦法；
- 找出函式的等價關係式，提取重複的邏輯縮小問題規模。
- 遞迴三步走：
- 明確函式功能：要清楚你寫這個函式是想要做什麼；
- 尋找遞迴出口：遞迴一定要有結束條件，不然會永遠遞迴下去，禁止套娃；
- 找出遞推關係：開始實現遞迴，一步一步遞推出最終結果。
明確函式功能
第一步，明確這個函式的功能是什麼，它要完成什麼樣的一件事。
而這個功能，是完全由你自己來定義的。也就是說，我們先不管函式裡面的程式碼是什麼、怎麼寫，而首先要明白，你這個函式是要用來幹什麼的。
例如，求解任意一個數的階乘：
要做出這個題，
第一步，要明確即將要寫出的這個函式的功能為：算n的階乘。
//算n的階乘（假設n不為0） int f(int n) { }
尋找遞迴出口（初始條件）
遞迴：就是在函式實現的內部程式碼中，呼叫這個函式本身。所以，我們必須要找出遞迴的結束條件，不然的話，會一直呼叫自己，一直套娃，直到記憶體充滿。
- 必須有一個明確的結束條件。因為遞迴就是有“遞”有“歸”，所以必須又有一個明確的點，到了這個點，就不用“遞下去”，而是開始“歸來”。
第二步，我們需要找出當引數為何值時，遞迴結束，之後直接把結果返回。
（一般為初始條件，然後從初始條件一步一步擴充到最終結果）注意：這個時候我們必須能根據這個引數的值，能夠直接知道函式的結果是什麼。
讓我們繼續完善上面那個階乘函式。
第二步，尋找遞迴出口：
當n=1時，我們能夠直接知道f(1)=1；
如下：
//算n的階乘（假設n不為0）
int f(int n) {
if(n == 1) {
return 1;
}
}當然，當n=2時，我們也是知道f(2)等於多少的，n=2也可以作為遞迴出口。遞迴出口可能並不唯一的。
找出遞推關係
第三步，我們要從初始條件一步一步遞推到最終結果。（可以類比數學歸納法，多米諾骨牌）
- 初始條件：f(1) = 1
- 遞推關係式：f(n) = f(n-1)*n
這樣就可以從n=1，一步一步推到n=2，n=3...
// 算n的階乘（假設n不為0）
int f(int n) {
if(n = 1) {
return n;
}
// 把f(n)的遞推關係寫進去
return f(n-1) * n;
}到這裡，遞迴三步走就完成了，那麼這個遞迴函式的功能我們也就實現了。
可能初學的讀者會感覺很奇妙，這就能算出階乘了？那麼，我們來一步一步推一下。
f(1)=1
f(2)=f(1)*2=2
f(3)=f(2)*3=2*3=6
...
你看看是不是解決了，n都能遞推出來！
例題
斐波那契數列
斐波那契數列的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1.....,第 n 專案為 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。
明確函式功能：f(n)為求第n項的值
// 1.f(n)為求第n項的值 int f(int n) { }尋找遞迴出口：f(1)=1,f(2)=1
// 1.f(n)為求第n項的值 int f(int n) { // 2.遞迴出口 if(n <= 2) { return 1; } }找出遞推關係：f(n) = f(n-1)+f(n-2)
// 1.f(n)為求第n項的值 int f(int n) { // 2.遞迴出口 if(n <= 2) { return 1; } // 3.遞推關係 return f(n-1) + f(n-2); }
小青蛙跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
明確函式功能：f(n)為青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法
int f(int n) { }尋找遞迴出口：f(0)=0,f(1)=1
int f(int n) { // 遞迴出口 if(n <= 1) { return n; } }找出遞推關係：f(n) = f(n-1)+f(n-2)
int f(int n) { // 遞迴出口 if(n <= 2) { return 1; } // 遞推關係 return f(n-1) + f(n-2); }
遞迴優化思路
自頂向下
上面說了那麼多，都是自底向上的
（我比較習慣自底向上，因為比較符合數學歸納法，順著推）
例如，階乘可以理解為f(n)一步一步分解為f(n-1)...直到f(1)，一步步化小，這樣也是可以的。
重複計算
其實遞迴當中有很多子問題被重複計算。
對於斐波那契數列，f(n) = f(n-1)+f(n-2)。
遞迴呼叫的狀態圖如下：
其中，遞迴計算時f(6)、f(5)...都被重複了很多次，這是極大的浪費，當n越大，因重複計算浪費的就越多，所以我們必須要進行優化。
- 優化思路：
- 建立一個數組，將子問題的計算結果儲存起來。
- 判斷之前是否計算過：
- 計算過，取出來用
- 沒有計算過，再遞迴計算
- 例項：
- 把n作為陣列下標，f(n)作為值。
例如arr[n] = f(n)。 - f(n)還沒有計算過的時候，我們讓arr[n]等於一個特殊值。
例如arr[n] = -1。 - 當我們要判斷的時候，
- 如果 arr[n] = -1，則證明f(n)沒有計算過；
- 否則，f(n)就已經計算過了，且f(n) = arr[n]。
直接把值取出來用就行了。
- 把n作為陣列下標，f(n)作為值。
程式碼如下：
// 我們實現假定 arr 陣列已經初始化好的了。
int f(int n) {
if(n <= 1) {
return n;
}
//先判斷有沒計算過
if(arr[n] != -1) {
//計算過，直接返回
return arr[n];
}else {
// 沒有計算過，遞迴計算,並且把結果儲存到 arr數組裡
arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
reutrn arr[n];
}
}