劍指Offer對答如流系列 - 重建二叉樹
面試題6：重建二叉樹
題目描述：
輸入某二叉樹的前序遍歷和中序遍歷的結果，請重建出該二叉樹。假設輸入的前序遍歷和中序遍歷的結果中都不含重複的數字。例如輸入前序遍歷序列{1,2,4,7,3,5,6,8}和中序遍歷序列{4,7,2,1,5,3,8,6}，則重建出圖2.6所示的二叉樹並輸出它的頭結點。二叉樹結點的定義如下：
class Node{
int e;
Node left;
Node right;
Node(int x) { e = x; }
}
這道題主要測試你對二叉樹性質的瞭解，非常有代表性，不過在這之前，我們先把二叉樹的基本性質捋一遍。
二叉樹的基本性質
（1）關於樹
樹是一種資料結構，它是由n（n>=1）個有限結點組成一個具有層次關係的集合。
樹的基本術語有：
- 每個結點有零個或多個子結點
- 沒有父節點的結點稱為
根節點 - 每一個非根結點有且只有一個
父節點 - 除了根結點外，每個子結點可以分為多個不相交的子樹。
- 若一個結點有子樹，那麼該結點稱為子樹根的
“雙親”，子樹的根稱為該結點的“孩子”。有相同雙親的結點互為“兄弟”。 - 一個結點的所有子樹上的任何結點都是該結點的後裔。從根結點到某個結點的路徑上的所有結點都是該結點的祖先。
- 結點的度：結點擁有的子樹的數目
- 葉子結點：度為0的結點
- 分支結點：度不為0的結點
- 樹的度：樹中結點的最大的度
- 層次：根結點的層次為1，其餘結點的層次等於該結點的雙親結點的層次加1
- 樹的高度：樹中結點的最大層次
- 森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。
“樹”是電腦科學中非常重要的一部分內容，它的變形和應用非常之多。比如說，在做通訊錄的時候，Android 工程師往往喜歡用字典樹來存取資料，對於Java後端，有的時候我們處理的資料的時候也需要進行區間的查詢，比如說去年你的部落格在什麼時間段關注你的人增長最快啊，一天中自己的博文閱讀量最高的時間段啊，可以採用線段樹來實現。在JDK1.8的HashMap的結構中，當元素超過8個的時候，會轉為紅黑樹等等。
不過對於Java開發而言，二叉樹是基礎也是接觸較多的一種結構。
（2）關於二叉樹
二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構。它有五種基本形態：
1)空樹;
2)只有根的樹,即單結點;
3)有根且有一個左子樹;
4)有根且有一個右子樹;
5)有根且有一個左子樹,有一個右子樹。
二叉樹的性質有：
- 二叉樹第i層上的結點數目最多為2i-1(i>=1)
- 深度為k的二叉樹至多有2k-1個結點（k>=1）
- 包含n個結點的二叉樹的高度至少為(log2n)+1
在任意一棵二叉樹中，若葉子結點的個數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1
第四條的證明： 因為二叉樹中所有結點的度數均不大於2，設n0表示度為0的結點個數，n1表示度為1的結點個數，n2表示度為2的結點個數。
三類結點加起來為總結點個數，於是便可得到：n=n0+n1+n2 (公式1)
由度之間的關係可得第二個等式：n=n0*0+n1*1+n2*2+1 即n=n1+2n2+1 (公式2)
將（公式1）（公式2）組合在一起可得到n0=n2+1
瞭解這第四條性質就差不多了。如果想進一步學習二叉樹的性質，不妨去找本《離散數學》？
對二叉樹遍歷的理解
以這棵樹為例：
前序遍歷：根結點 —> 左子樹 —> 右子樹（先遍歷根節點，然後左右）
//前序遍歷以node為根
public void preOrder(Node node) {
//終止條件
if(node == null) {
return;
}
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}這棵樹的前序遍歷為：FCADBEHGM
中序遍歷：左子樹—> 根結點 —> 右子樹（在中間遍歷根節點）
//中序以node為根的
public void inOrder(Node node) {
//終止條件
if(node == null) {
return;
}
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}這棵樹的中序遍歷為：ACBDFHEMG
後序遍歷：左子樹 —> 右子樹 —> 根結點（最後遍歷根節點）
//中序以node為根
public void postOrder(Node node) {
//終止條件
if(node == null) {
return;
}
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}這棵樹的後序遍歷為：ABDCHMGEF
層序遍歷：
//層序遍歷
public void levelOrder() {
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
while( !q.isEmpty() ) {
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null)
q.add(cur.left);
if(cur.right != null)
q.add(cur.right); //後出
}
}這棵樹層序遍歷為：FCEADHGBM
所謂的前序、中序、後序，就是對根節點而言的，左右的遍歷順序不變，前序就是根節點最先遍歷，然後左右；中序就是把根節點放在中間遍歷；後序則是把根節點放在最後遍歷。
中序遍歷能夠幫助我們很好地確定根節點的位置，這個就有點可怕了，實際面試的時候，不單單會有給出前序遍歷和中序遍歷的結果讓你重建二叉樹，還有給出後序遍歷和中序遍歷結果或者 層序遍歷和中序遍歷的結果重建二叉樹、
其他的遍歷組合均不能還原出二叉樹的形狀，因為無法確認其左右孩子。例如，前序為AB，後序為AB，則無法確認出，B節點是A節點的左孩子還是右孩子，因此無法還原。
題解
思路：通過前序遍歷獲得根節點的位置，利用根節點將中序序列分為左子樹和右子樹，然後不斷的遞迴劃分即可。
程式碼中有解釋。
private Node buildTree(int[] pre, int preBegin, int preEnd, int[] mid, int midBegin, int midEnd) {
// 前序遍歷確第一個元素為根節點
Node root = new Node(pre[preBegin]);
// 用於標記中序遍歷結果中根節點的位置
int midRootLocation= 0;
for (int i = midBegin; i <= midEnd; i++) {
if (mid[i] == pre[preBegin]) {
midRootLocation= i;
break;
}
}
if ( midRootLocation - midBegin >= 1 ) {
// 遞迴得到左子樹
// 中序遍歷：左子樹—> 根結點 —> 右子樹（在中間遍歷根節點）
// midRootLocation標記了中序遍歷結果中根節點的位置，這個位置兩端對應根節點左子樹和右子樹
// midRootLocation- midBegin 表示該根節點左邊的節點的數量
// 前序遍歷：根結點 —> 左子樹 —> 右子樹（先遍歷根節點，然後左右）
// preBegin 標記了前序遍歷結果中根節點的位置
// preBegin + 1 表示該根節點左子樹起始位置
// preBegin + (midRootLocation- midBegin) 表示給根節點左子樹結束的位置
Node left = buildTree(pre, preBegin + 1, preBegin + (midRootLocation- midBegin),
mid, midBegin, midRootLocation - 1);
root.left = left;
}
if ( midEnd - midRootLocation >= 1 ) {
// 遞迴得到右子樹
// 原理和上面相同
Node right = buildTree(pre, preEnd - (midEnd - midRootLocation) + 1, preEnd,
mid, midRootLocation+ 1, midEnd);
root.right = right;
}
return root;
}舉一反三
（1）給出後序遍歷和中序遍歷的結果重建二叉樹
思路：通過後序獲取根節點的位置，然後在中序中劃分左子樹和右子樹，然後遞迴劃分即可。
形式與上面 給出 前序遍歷和中序遍歷的結果重建二叉樹相同
private Node buildTree(int[] mid, int midBegin, int midEnd, int[] end, int endBegin, int endEnd) {
Node root = new Node(end[endEnd]);
int midRootLocation = 0;
for (int i = midEnd; i >= midBegin; i--) {
if (mid[i] == end[endEnd]) {
midRootLocation = i;
break;
}
}
//還原左子樹
if (midRootLocation - midBegin >= 1 ) {
Node left = buildTree(mid, midBegin, midRootLocation - 1, end, endBegin, endBegin + (midRootLocation - midBegin) - 1);
root.left = left;
}
//還原右子樹
if (midEnd - midRootLocation >= 1 ) {
Node right = buildTree(mid, midRootLocation + 1, midEnd, end, endEnd - (midEnd - midRootLocation), endEnd - 1);
root.right = right;
}
return root;
}（2）給出層序遍歷和中序遍歷結果重建二叉樹
思路：
（1）根據層序遍歷獲取根節點的位置
（2）根據（1）將中序劃分為左子樹和右子樹
（3）根據（2）劃分出的左子樹和右子樹分別在層序遍歷中獲取其對應的層序順序
（4）然後遞迴呼叫劃分。
private Node buildTree(int[] mid, int[] level, int midBegin, int midEnd) {
// 層序遍歷的第一個結果是 根節點
Node root = new Node(level[0]);
// 用於標記中序遍歷的根節點
int midLocation = -1;
for (int i = midBegin; i <= midEnd; i++) {
if (mid[i] == level[0]) {
midLocation = i;
break;
}
}
if (level.length >= 2) {
if (isLeft(mid, level[0], level[1])) {
Node left = buildTree(mid, getLevelArray(mid, midBegin, midLocation - 1, level), midBegin, midLocation - 1);
root.left = left;
if (level.length >= 3 && !isLeft(mid, level[0], level[2])) {
Node right = buildTree(mid, getLevelArray(mid, midLocation + 1, midEnd, level), midLocation + 1, midEnd);
root.right = right;
}
} else {
Node right = buildTree(mid, getLevelArray(mid, midLocation + 1, midEnd, level), midLocation + 1, midEnd);
root.right = right;
}
}
return root;
}
// 功能 ： 判斷元素是根節點的左子樹節點還是右子樹節點
// 引數 ： target為根節點 isLeft在中序遍歷結果中判斷children是根節點的左子樹還是右子樹
// 返回值 : 如果為左子樹節點則為true 否則為false
private boolean isLeft(int[] array, int target, int children) {
boolean findC = false;
for (int temp : array) {
if (temp == children) {
findC = true;
} else if (temp == target) {
return findC;
}
}
return false;
}
// 功能： 將中序序列中midBegin與midEnd的元素依次從level中提取出來，保持level中的元素順序不變
private int[] getLevelArray(int[] mid, int midBegin, int midEnd, int[] level) {
int[] result = new int[midEnd - midBegin + 1];
int curLocation = 0;
for (int i = 0; i < level.length; i++) {
if (contains(mid, level[i], midBegin, midEnd)) {
result[curLocation++] = level[i];
}
}
return result;
}
// 如果array的begin和end位置之間（包括begin和end）含有target,則返回true。
private boolean contains(int[] array, int target, int begin, int end) {
for (int i = begin; i <= end; i++) {
if (array[i] == target) {
return true;
}
}
return false;
}