前陣子，有小夥伴在我B站的演算法教程底下留言

小夥伴們有任何疑問或者希望我講解任何內容，都可以在我的個人B站或公眾號（xmg_mj）留言哦，我會盡我最大能力、儘量抽時間去寫文章\錄視訊來回應大家。

關於快速冪

其實快速冪相關的問題，是參加演算法競賽（NOI、ACM等）的小夥伴必須要掌握的一小塊基礎內容。當然，就算你不打算參加演算法競賽，個人覺得只要你是一名程式設計師，就必須要掌握快速冪演算法。

在《計算機程式設計藝術》一書中就有提到快速冪演算法，此書的英文名是The Art of Computer Programming，簡稱TAOCP。

TAOCP出自Donald Ervin Knuth前輩之手。Knuth前輩是在計算機領域成就頗豐的知名科學家，是著名的KMP演算法的發明人之一，在1974年獲得“計算機領域的諾貝爾獎”：圖靈獎（當年他才36歲）。目前TAOCP已經出版了第1、2、3、4A卷，按照計劃，還有第4B、5、6、7卷未出版。第一卷首發於1968年，Knuth前輩今年是82歲高壽，據說他計劃在105歲之前完成這部鉅著。

關於TAOCP，微軟創始人Bill Gates曾說過

If you think you're a really good programmer… read (Knuth's) Art of Computer Programming… You should definitely send me a resume if you can read the whole thing.

大概意思是：如果你認為自己是一位非常優秀的程式設計師，那就應該閱讀Knuth的TAOCP；如果你能讀懂全部內容，可以直接給我傳送一份簡歷。據說Knuth前輩的言辭更加犀利：看不懂就別當程式設計師了！不過TAOCP對於新手來說，閱讀難度的確比較大，書中的所有示例都使用了Knuth前輩自創的MIX組合語言。

閱讀本文之前的提醒

今天就抽空寫一篇文章來講解一下經典的快速冪演算法哈。不過要想徹底看懂本文，有幾個前提條件

• 熟悉演算法中的2個基礎概念：時間複雜度、空間複雜度
  • 如果你壓根沒聽過這2個概念，說明你的演算法基礎完全為0，真的沒有在開玩笑！
  • 可以向公眾號傳送複雜度獲取相關教程
• 熟悉二進位制和十進位制的轉換
  • 如果連這個都不熟悉的話，那你的程式設計底子就真的需要好好補補啦
  • 可以向公眾號傳送進位制獲取相關教程
• 熟悉常見的位運算操作
  • n & 1的結果是n最低二進位制位的值，也可以用於判斷n的奇偶性
  • 求正整數n / 2，可以用位運算取代：n >> 1
  • 如果不明白上述操作的原理，可以向公眾號傳送位運算獲取相關教程

什麼是冪（Power）？

眾所周知，x的n次冪，是指x的n次方，也就是n個x相乘，比如2的4次冪就是2 * 2 * 2 * 2。

為了簡化描述，後面x的n次冪，我就簡化為x ^ n（本文中的 ^ 並不是按位異或的意思）

那如何通過程式設計求冪？假設只考慮x、n是整數且n大於等於0的情況，最容易想到的方法如下所示（這裡採用的程式語言是Java，但沒有涉及Java特殊的語法。所以就算你沒用過Java，也可以看懂）

int power(int x, int n) {
    int result = 1;
    while (n-- > 0) {
        result *= x;
    }
    return result;
}

很顯然，這種方法的時間複雜度是O(n)、空間複雜度是O(1)

什麼是快速冪？

所謂快速冪，就是用效率更高（時間複雜度更低）的方法求冪，可以將時間複雜度優化至O(logn)。這裡介紹2種求解方法：遞迴、非遞迴

遞迴

根據上圖中的等式，不難寫出以下程式碼

int fastPower(int x, int n) {
    if (n == 0) return 1;
    int result = fastPower(x, n >> 1);
    result *= result;
    return (n & 1) == 0 ? result : result * x;
}

這個方法的時間、空間複雜度都是O(logn)。

那如何分析出這個方法的複雜度呢？

如果你的演算法功底比較薄弱，可以代入特定值作一個大概的分析，比如當n為16時，方法的遞迴呼叫過程如下圖所示

不難看出，每次呼叫時，n的規模都減半，所以時間和空間複雜度都是O(logn)

如果你的演算法功底還行，那就可以用更專業的方法去分析它的複雜度（沒有一定的演算法基礎，可能會看不懂）

• 這其實是典型的應用分治策略的演算法
• 假設T(n)是資料規模為n時的時間複雜度，不難得出遞推式：T(n) = T(n / 2) + O(1)
• 最後根據遞推式 + 主定理（Master Theorem）可以直接得出結論：T(n) = O(logn)

非遞迴

我們以求3 ^ 21為例子，來分析一下非遞迴的程式碼應該怎麼寫。

首先21的二進位制形式是10101

不難得出以下結論

• 3 ^ n（n為2、4、8、16）都可以由3 ^ 1累乘出來
• 每一個3 ^ n都有對應的二進位制位
  • 3 ^ 1對應二進位制位的值是1，其實是二進位制10101的最後1位
  • 3 ^ 2對應二進位制位的值是0，其實是二進位制1010的最後1位
  • 3 ^ 4對應二進位制位的值是1，其實是二進位制101的最後1位
  • 3 ^ 8對應二進位制位的值是0，其實是二進位制10的最後1位
  • 3 ^ 16對應二進位制位的值是1，其實是二進位制1的最後1位
• 如果3 ^ n對應二進位制位的值是0，就不用乘進最終結果
  • 比如3 ^ (8 * 0)、3 ^ (2 * 0)
  • 因為它們最終的值都是3 ^ 0，也就是1
• 如果3 ^ n對應二進位制位的值是1，就需要乘進最終結果
  • 比如3 ^ (16 * 1)、3 ^ (4 * 1)、3 ^ (1 * 1)

所以，綜合以上種種結論，可以總結出以下解題步驟

• 利用3 ^ 1，不斷累乘出3 ^ n（n為2、4、8、16）
• 每當累乘出一個3 ^ n，就檢視其對應二進位制位的值是1還是0，來決定是否要將它乘進最終結果

int fastPower(int x, int n) {
    int result = 1;
    while (n != 0) {
        if ((n & 1) == 1) {
            result *= x;
        }
        x *= x;
        n >>= 1;
    }
    return result;
}

代入3和21，fastPower(3, 21)的執行流程如下

第1輪while迴圈

• 第4行程式碼
  • n的二進位制是10101（十進位制是21）
  • x = 3 ^ 1, 其對應二進位制位的值是1（n的最後一個二進位制位）
  • 所以需要執行第5行程式碼：將x乘進最終結果
  • result = 3 ^ 1
• 第7行程式碼
  • x = (3 ^ 1) * (3 ^ 1) = 3 ^ 2
• 第8行程式碼
  • n右移1位，其二進位制變成了1010（對應的十進位制是啥？不重要！！！）

第2輪while迴圈

• 第4行程式碼
  • n的二進位制是1010
  • x = 3 ^ 2, 其對應二進位制位的值是0（n的最後一個二進位制位）
  • 所以不需要執行第5行程式碼：不需要將x乘進最終結果
  • result = 3 ^ 1
• 第7行程式碼
  • x = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) = 3 ^ 4
• 第8行程式碼
  • n右移1位，其二進位制變成了101（對應的十進位制是啥？不重要！！！）

第3輪while迴圈

• 第4行程式碼
  • n的二進位制是101
  • x = 3 ^ 4, 其對應二進位制位的值是1（n的最後一個二進位制位）
  • 所以需要執行第5行程式碼：將x乘進最終結果
  • result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)
• 第7行程式碼
  • x = (3 ^ 4) * (3 ^ 4) = (3 ^ 8)
• 第8行程式碼
  • n右移1位，其二進位制變成了10（對應的十進位制是啥？不重要！！！）

第4輪while迴圈

• 第4行程式碼
  • n的二進位制是10
  • x = 3 ^ 8, 其對應二進位制位的值是0（n的最後一個二進位制位）
  • 所以不需要執行第5行程式碼：不需要將x乘進最終結果
  • result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)
• 第7行程式碼
  • x = (3 ^ 8) * (3 ^ 8) = 3 ^ 16
• 第8行程式碼
  • n右移1位，其二進位制變成了1（對應的十進位制是啥？不重要！！！）

第5輪while迴圈

• 第4行程式碼
  • n的二進位制是1
  • x = 3 ^ 16, 其對應二進位制位的值是1（n的最後一個二進位制位）
  • 所以需要執行第5行程式碼：將x乘進最終結果
  • result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)
• 第7行程式碼
  • x = (3 ^ 16) * (3 ^ 16) = 3 ^ 32
• 第8行程式碼
  • n右移1位，其二進位制變成了0

最後

• 由於n = 0，所以退出while迴圈
• 最終result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)
• 複雜度分析
  • 每執行一次while的迴圈體，n >>= 1, 會導致n的值減半
  • 所以時間複雜度：O(logn)、空間複雜度：O(1)

Leetcode

Leetcode上的第50號題50. Pow(x, n)，剛好就可以用今天講解的快速冪演算法。以下是我的程式碼實現

// 遞迴
public double myPow(double x, int n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == -1) return 1 / x;
    double half = myPow(x, n >> 1);
    half *= half;
    return ((n & 1) == 1) ? half * x : half;
}

// 非遞迴
public double myPow(double x, int n) {
    long y = (n < 0) ? -((long) n) : n;
    double result = 1.0;
    while (y > 0) {
        if ((y & 1) == 1) {
            result *= x;
        }
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return (n < 0) ? (1 / result) : result;
}

需要提醒的是

• 這裡我用的程式語言是Java，大家可以根據自己熟悉的程式語言，對一些語法細節作出相應的調整
• Leetcode上的n可能是個負數，所以上面的程式碼針對負數的情況作了一些處理

更多快速冪相關的問題

時間有限，這篇文章就先說到這了哈。給小夥伴們留2個快速冪相關的問題，有空的話，可以去研究一下

• 使用矩陣快速冪求斐波那契數列
• 請設計一個演算法求x的y次冪模z的結果：(x ^ y) % z
  • 假設x、y都可能是很大的整數（y大於等於0，z不等於0）

如果你特別希望我寫點什麼方面的內容，也可以留言建議，謝謝。歡迎關注

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