# 前言 > 本文收錄於專輯：[http://dwz.win/HjK](http://dwz.win/HjK)，點選解鎖更多資料結構與演算法的知識。 你好，我是彤哥。 前面兩節，我們一起學習了關於跳錶的理論知識，並手寫了兩種完全不同的實現，我們放一張圖來簡單地回顧一下：  實現跳錶的關鍵之處是在有序連結串列的基礎上加上各層索引，通過這些索引可以做到O(log n)的時間複雜度快速地插入、刪除、查詢元素。 說起跳錶，我們就不得不提另一種非常經典的資料結構——紅黑樹，紅黑樹相對於跳錶來說，雖然時間複雜度都是O(log n)，但是紅黑樹的使用場景相對更廣泛一些，在早期的Linux核心中就一直存在紅黑樹的實現，也運用在了更高效的多路複用器Epoll中。 所以，紅黑樹是每一個程式設計師不得不會的知識點，甚至有些變態的面試官，還會讓你手寫紅黑樹的一部分實現，比如左旋、右旋、插入平衡的過程、刪除平衡的過程，這些內容非常複雜，靠死記硬背往往很難徹底掌握。 彤哥也是一直在尋找一種紅黑樹的記憶法，總算讓我找到了那麼一種還算不錯的方式，從紅黑樹的起源出發，理解紅黑樹的本質，再從本質出發，徹底掌握不用死記硬背的方法，最後再把它手寫出來。 從本節開始，我也將把這種方法傳遞給你，因此，紅黑樹的部分，我會分成三個小節來講解： - 從紅黑樹的起源，到紅黑樹的本質 - 從紅黑樹的本質，找到不用死記硬背的方法 - 不靠死記硬背，手寫紅黑樹 好了，下面我們就進入第一小節。 # 紅黑樹的起源 ## 二叉樹 說起樹，我們不得不說最有名的樹，那就是二叉樹，什麼是二叉樹呢？ **二叉樹（binary tree）**，是指樹中的每個節點最多隻有兩個子節點的樹。  當然，二叉樹本身似乎沒什麼用，我們平時說的二叉樹基本上都是指二叉查詢樹，或者叫有序二叉樹、二叉搜尋樹、二叉排序樹。 ## 二叉查詢樹 **二叉查詢樹（BST，binary search tree）**，就是在二叉樹的基礎上增加有序性，這個有序性一般是指自然順序，有了有序性，我們就可以使用二叉樹來快速的查詢、刪除、插入元素了。  比如，上面這顆二叉查詢樹，查詢元素的平均時間複雜度為O(log n)。 但是，二叉查詢樹有個非常嚴重的問題，試想，還是這三個元素，如果按照A、B、C的順序插入元素會怎樣？  這是啥？單鏈表？沒錯，當按照元素的自然順序插入元素的時候，二叉查詢樹就退化成單鏈表了，單鏈表的插入、刪除、查詢元素的時間複雜度是多少？O(n)。 所以，在極限情況下，二叉查詢樹的時間複雜度是非常差的。 既然，插入元素後有可能導致二叉查詢樹的效能變差，那麼，我們是否可以增加一些手段，讓插入元素後的二叉查詢樹依然效能良好呢？ 答案是肯定的，這種手段就叫做`平衡`，這種可以自平衡的樹就叫做平衡樹。 ## 平衡樹 **平衡樹（self-balancing or height-balanced binary search tree）**，是指插入、刪除元素後可以自平衡的二叉查詢樹，使得它的時間複雜度可以一直漸近於O(log n)。 比如，上面那顆樹，按A、B、C插入元素後，做一次旋轉操作，就可以再次變成查詢時間複雜度為O(log n)的樹。  但是，平衡樹一直只是一個概念，直到1962年才由兩個蘇聯人發明了第一種平衡樹——AVL樹。 > 嚴格來說，平衡樹是指可以自平衡的二叉查詢樹，三個關鍵詞：自平衡、二叉、查詢（有序）。 ## AVL樹 AVL樹（由發明者**A**delson-**V**elsky 和 **L**andis 的首字母縮寫命名），是指任意節點的兩個子樹的高度差不超過1的平衡樹。  比如，上面這顆樹，就是一顆AVL樹，不信你可以數數看，是不是每個節點的兩個子樹的高度差都不超過1。 是不是很難發現它真的是一顆AVL樹，沒錯，這是AVL樹的第一個缺點，不夠直觀，特別是節點個數多的時候。 第二個缺點，就是插入、刪除元素的時候自平衡的過程非常複雜，比如，上面這顆樹插入一個節點`T`：  我們從T往上找，它的父節點U，U的兩顆子樹的高度差為1，滿足AVL樹的規則，再往上，S的兩顆子樹的高度差為1，也滿足規則，再往上，V的兩顆子樹的高度差為2，不滿足規則，此時，需要一個自平衡的過程，該如何自平衡呢？ 我下面給出圖示，你可以試著理解一下：  紅色節點表示旋轉的軸。 經過兩次旋轉，讓這顆樹再次變成了AVL樹，而且這只是其中一種插入場景，真實的情況還要根據插入的位置的不同做不同的旋轉，你可以多插入幾個節點自己嘗試平衡一下。 同樣地，AVL樹的程式碼也不是那麼好實現的，反正，到目前為止，彤哥是沒搞懂AVL樹的各種規則。 基於這些缺點，所以，後來又發展出來了各種各樣的神奇的平衡樹。 ## 2-3樹 **2-3樹**，是指每個具有子節點的節點（內部節點，internal node）要麼有兩個子節點和一個數據元素，要麼有三個子節點和兩個資料元素的自平衡的樹，它的所有葉子節點都具有相同的高度。 簡單點講，2-3樹的非葉子節點都具有兩個分叉或者三個分叉，所以，稱作2叉-3叉樹更容易理解。 另外一種說法，具有兩個子節點和一個數據元素的節點又稱作2節點，具有三個子節點和兩個資料元素的節點又稱作3節點，所以，整顆樹叫做2-3樹。  2-3樹，插入元素後自平衡的過程相對於AVL樹就要簡單得多了，比如，上面這顆樹，再插入一個元素K，它會先找到`I J`這個節點，插入元素K，形成臨時節點`I J K`，不符合2-3樹的規則，所以分裂，`J`往上移，`F H`這個節點變成了`F H J`了，也不符合2-3樹的規則，繼續上移`H`，根節點變為`D H`，同時，上移的過程中，子節點也要相應的分裂，過程大致如下：  > 畫圖辛苦了，關注一波：彤哥讀原始碼。 可以看到，上面自平衡的過程中，出現了一種節點，它具有四個子節點和三個資料元素，這個節點可以稱作4節點，如果把4節點當作是可以允許存在的，那麼，就出現了另一種樹：2-3-4樹。 ## 2-3-4樹 **2-3-4樹**，它的每個非葉子節點，要麼是2節點，要麼是3節點，要麼是4節點，且可以自平衡，所以稱作2-3-4樹。 2節點、3節點、4節點的定義在上面已經提及，我們再重申一下： 2節點：包含兩個子節點和一個數據元素； 3節點：包含三個子節點和兩個資料元素； 4節點：包含四個子節點和三個資料元素；  當然，2-3-4樹插入元素的過程也很好理解，比如，上面這顆樹，插入元素M，找到`K L`這個節點，插入即可，形成4節點，滿足規則，不需要自平衡：  再插入元素N呢？過程與2-3樹一樣，向上分裂即可，此時，中間節點有兩個，取任意一個上移都是可以的，我們這裡以左中節點上移為例，大致過程如下：  是不是挺簡單的，至少比AVL樹那種左旋右旋簡單得多。 同樣地，在2-3-4樹自平衡的過程中出現了臨時的5節點，所以，如果允許5節點的存在呢？ 嗯，2-3-4-5樹由此誕生！ 同樣地，還有2-3-4-5-6樹、2-3-4-5-6-7樹……子子孫孫，無窮盡也~ 所以，有人就把這一類樹歸納為一個新的名字：B樹。 ## B樹 **B樹**，表示的是一類樹，它允許一個節點可以有多於兩個子節點，同時，也是自平衡的，葉子節點的高度都是相同的。 所以，為了更好地區分一顆B樹到底屬於哪一類樹，我們給它一個新的屬性：度（Degree）。 具有度為3的B樹，表示一個節點最多有三個子節點，也就是2-3樹的定義。 具有度為4的B樹，表示一個節點最多有四個子節點，也就是2-3-4樹的定義。  B樹，一個節點可以儲存多個元素，有利於快取磁碟資料，整體的時間複雜度趨向於O(log n)，原理也比較簡單，所以，經常用於資料庫的索引，包括早期的mysql也是使用B樹來作為索引的。 但是，B樹有個大缺陷，比如，我要按範圍查詢元素，以上面的2-3-4樹為例，查詢大於B且小於K的所有元素，該怎麼實現呢？ 很難，幾乎無解，所以，後面又出現替代B樹的方案：B+樹。 當然了，B+樹不是本節的重點，本節的重點是紅黑樹。 納尼，紅黑樹在哪裡？寫了3000多字了，還沒見到紅黑樹的影子，我尬了~ 來了來了，有意思的紅黑樹來了~~ ## 紅黑樹 先上一張圖，請仔細體會：  看明白了沒有？紅黑樹是啥？紅黑樹就是2-3-4樹！！！ OK，本節到此結束。 # 後記 本節，我們一起從二叉樹出發，一路經過二叉查詢樹、平衡樹、AVL樹、2-3樹、2-3-4樹、B樹，最後終於得出了紅黑樹的本質，紅黑樹的本質就是一顆2-3-4樹，換了個面板而已。 那麼，為什麼要再造一個紅黑樹呢？直接用2-3-4樹它不香麼？ 我們下一節解答，同時，下一節，我們將從紅黑樹的本質出發，徹底理解紅黑樹插入、刪除、查詢、左旋、右旋的全過程，再也不用死記硬背了，還不來關注我^^ > 關注公主號“彤哥讀原始碼”，解鎖更多原始碼、基礎、架構