[TOC] # 波動率模型 ## 什麼是波動率？ 波動率指的是資產價格的波動強弱程度，類似於概率論中隨機變數標準差的概念。波動率不能直接觀測，可以從資產收益率中看出波動率的一些特徵。 為建立波動率隨時間變化的一般模型，我們定義波動率是收益率的條件標準差。設 $r_t$ 是某種資產在 $t$ 時刻的基於某時間單位的對數收益率，一般認為 $\{r_t\}$ 序列是前後不相關的或低階自相關的，但不是前後獨立的時間序列。 一元波動率模型就是試圖刻畫收益率這種本身不相關或低階自相關，但前後不獨立的模型。用 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示截止到 $t-1$ 時刻的收益率的全部歷史資訊，尤其是包括這些收益率的線性組合。考慮 $r_t$ 在 $\mathcal{F}_{t-1}$ 條件下的條件均值和條件方差： $$ \mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ . $$ 可以將 $r_t$ 分解為： $$ r_t=\mu_t+a_t \ , $$ 其中 $\{a_t\}$ 為不相關的白噪聲序列，這裡我們對白噪聲序列假設 ${\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0$ 。這個條件比不相關零均值白噪聲序列的條件要強一些。綜合以上條件，可以有 $$ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ . $$ 這裡的 $\sigma_t$ 就是波動率，是收益率的條件標準差。 如果假設模型中的白噪聲 $\{a_t\}$ 是獨立序列， 則 $\sigma_t^2\equiv\sigma^2$ ，波動率就沒有建模的可能。但是實際上，假定 $\{a_t\}$ 是零均值不相關的白噪聲，滿足 ${\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0$ ，但並不是獨立序列。 波動率模型的主要問題就是對 $\sigma_t^2$ 建模，這種模型叫做條件異方差模型。將收益率 $r_t$ 分解後，有 $$ a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , $$ 稱 $\{a_t\}$ 為資產收益率 $\{r_t\}$ 在 $t$ 時刻的新息。$\sigma_t^2$ 的模型稱為 $\{r_t\}$ 的波動率方程。 ## ${\rm ARCH}$ 模型引入 自迴歸條件異方差模型，簡稱為 ${\rm ARCH}$ 模型。這是我們將波動率定義為條件標準差之後，第一次提出的波動率的理論模型。 我們通常意義上考慮的異方差問題，是指在一個靜態模型中，隨機誤差項的方差取決於模型中的解釋變數。然而在時間序列模型中，我們還需要對異方差的動態形式加以考慮。即使不存在通常意義上的異方差，隨機誤差項的方差還可能取決於時間序列在以前時期的波動程度。我們用條件方差來理解這一問題。 考慮一個簡單靜態模型 $$ y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ , $$ 如果該模型滿足時間序列模型假設 TS.1-TS.5，則顯然 OLS 估計量仍然是 BLUE 的。這裡的同方差假設指的是 ${\rm Var}(u_t|X)$ 是一個常數。但如果改變條件，還可能存在其他形式的異方差： $$ {\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , $$ 這就是一階自迴歸條件異方差模型。 一般地，我們省略解釋變數條件，將 ${\rm ARCH}(1)$ 模型寫為 $$ {\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ . $$ ## ${\rm ARCH}(1)$ 模型 建立 ${\rm ARCH}$ 模型考慮了兩個基本思想： (1) 隨機擾動序列 $u_t$ 是前後不相關的，但不獨立的。 (2) 序列 $u_t$ 的不獨立性可以描述為基於歷史資訊的條件方差 ${\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})$ 可以用二次項序列 $u_t^2$ 的滯後項的線性組合表示。 其中 $\mathcal{F}_{t-1}$ 指的是 $t-1$ 期的全部資訊。 在 Wooldridge 的《計量經濟學導論》中，將 ${\rm ARCH}(1)$ 模型近似設定為 $$ u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ . $$ 由於條件方差恆正，因此在這個模型中，只有當 $\alpha_0>0$ 且 $\alpha_1>0$ 時該模型是有具有動態意義的。 更加廣為使用的 ${\rm ARCH}(1)$ 模型是 Tsay 在《金融時間序列分析》中給出的模型設定： $$ u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , $$ $$ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , $$ 其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 ${\rm WN}(0,\,1)$ 首先求解條件方差： $$ {\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2 $$ 接著求解無條件方差： $$ \begin{aligned} {\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} $$ 由於 $\{u_t\}$ 是一個零均值平穩序列，有 ${\rm E}(u_t)=0$ 和 ${\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})$ ，因此 $$ {\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ , $$ 進而有 $$ {\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ . $$ 這裡要求 $0<\alpha_1<1$ ## ${\rm ARCH}(m)$ 模型 進而我們將模型擴充套件為一般的 ${\rm ARCH}(m)$ 模型，首先給出模型設定： $$ u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , $$ $$ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2 $$ 其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 ${\rm WN}(0,\,1)$ ，並且 $\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m$ 。一般假設為標準正態分佈或是標準化的 $t$ 分佈。 另外 $\{\alpha_j\}$ 還需要滿足使得 ${\rm Var}(u_t)$ 有限的條件，類似於 ${\rm AR}(p)$ 序列的平穩性的特徵根條件，並且 $$ \sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ . $$ 模型設定中的第二個方程被稱為波動率方程。由於該方程的右側僅出現了截止到 $t-1$ 時刻的確定性函式而沒有新增的隨機擾動，所以稱 ${\rm ARCH}$ 模型為確定性的波動率模型。 設 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示 $t-1$ 期的全部歷史資訊，由 $\{\varepsilon_t\}$ 的獨立性知 $\{\varepsilon_t\}$ 和 $\mathcal{F}_{t-1}$ 獨立。 類似於 ${\rm ARCH}(1)$ 模型的無條件方差，可以利用全期望公式計算得到 ${\rm ARCH}(m)$ 模型的無條件方差如下： 首先計算條件方差 $$ \begin{aligned} {\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&= {\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2 \end{aligned} $$ 進而計算無條件方差 $$ \begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&= {\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2) \\ &={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ . \end{aligned} $$ 由 $\{u_t\}$ 的平穩性 ${\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)$ 可以解得 $$ {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ . $$ 以上就是常用的 ${\rm ARCH}$ 模型的性質。但我們也會發現 ${\rm ARCH}(m)$ 模型的具有如下缺點：模型中引入的都是擾動項 $u_t$ 的平方項，因此恆為正值，沒有考慮正、負擾動對於波動率的不對稱影響。此外，${\rm ARCH}$ 模型不能提供更多資訊來幫助理解方程的來源，僅僅提供一種方法來描述條件方差是如何變化的。 ## ${\rm GARCH}$ 模型引入和模型設定 在之前的介紹中，${\rm ARCH}$ 模型用來描述波動率能得到很好的效果，但實際建模時可能需要較高的階數。提出了ARCH模型的一種重要推廣模型，稱為 ${\rm GARCH}$ 模型。 Tsay 在《金融時間序列分析》一書中引入了對數收益率 $r_t$ 的概念。事實上，對於一個對數收益率 $r_t$ 的新息序列 $$ u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , $$ 常常用 ${\rm GARCH}$ 模型來刻畫 $\{u_t\}$ 序列的性質。下面給出一般情況下 ${\rm GARCH}(m,\,s)$ 的模型設定： $$ u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , $$ $$ \sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ , $$ 其中，$\{\varepsilon_t\}$ 為零均值單位方差的獨立同分布白噪聲序列，$\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0$ ，並且 $$ 0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1 $$ 這個條件用來保證滿足模型的的 $u_t$ 無條件方差有限且不變，而條件方差 $\sigma_t^2$ 可以隨時間 $t$ 的變化而變化。 ## ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 模型 下面以最簡單的 ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 模型為例研究 ${\rm GARCH}$ 模型的性質。依然定義 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示截止到 $t-1$ 時刻的 $u_{t-i}$ 和 $\sigma_{t-j}$ 所包含的全部歷史資訊。首先寫出模型設定： $$ u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ , $$ $$ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ , $$ 計算出條件期望： $$ {\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ . $$ 這裡利用了 $\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}$ 和 $\varepsilon_t$ 與 $\mathcal{F}$ 獨立。 進而計算無條件期望 $$ {\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ . $$ 即 ${\rm GARCH}$ 模型的新息 $u_t$ 的無條件期望為零。 最後利用全期望公式計算無條件方差，假設 $\{u_t\}$ 序列存在嚴平穩解，則有 $$ \begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} $$ 由 ${\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)$ 解得 $$ {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ . $$ ## ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 預測波動率示例 首先寫出利用截止到 $h$ 時刻的觀測值作一步預測的波動率模型： $$ \sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ . $$ 因此有數學期望 $$ \sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ . $$ 這說明對未來波動率的一步預測可以利用波動率模型直接給出。 繼續計算兩步預測： 利用 $u_t=\sigma_t\varepsilon_t$ 化簡 $\sigma_{h+2}^2$ : $$ \begin{aligned} \sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ . \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\ \\ &={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\ \\ &=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\ \\ &=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ . \end{aligned} $$ 類似地，可以求得遞推預測公式： $$ \sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ , $$ 迭代計算得 $$ \sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ , $$ 當 $l\to\infty$ 時，有 $$ \sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ . $$ 即波動率的多步條件方差預測趨於的 $u_t$ 的無條件方差。 和 ${\rm ARCH}$ 模型類似，使用 ${\rm GARCH}$ 模型對於收益率的正負不對稱性仍然無法