最近在看高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM），涉及到高斯分佈的引數。為此特意回顧了概率論的二維高斯分佈的相關概念，並分析了引數對二維高斯分佈曲面的影響。

1、多維高斯分佈的概率密度函式

　　　
　　多維變數X=(x1,x2,...xn)$X=(x_1,x_2,...x_n)$的聯合概率密度函式為：
　　　　　　　f(X)=1(2π)d/2|Σ|1/2exp[−12(X−u)TΣ−1(X−u)],X=(x1,x2...xn)$f(X)=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}{\left|\mathrm{\Sigma }\right|}^{1/2}}\exp [-\frac{1}{2}(X-u{)}^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(X-u)],X=(x_1,x_2...x_n)$
　　其中：
　　d：變數維度。對於二維高斯分佈，有d=2;
　　

u=(u1u2…un)$u=\left(\begin{array}{l}{u}_1{u}_2\dots u_n\end{array}\right)$：各位變數的均值；
　　Σ$\mathrm{\Sigma }$：協方差矩陣，描述各維變數之間的相關度。對於二維高斯分佈，有：Σ=(δ11δ21δ12δ22)$$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}\right)$$
　　後文主要分析均值和協方差矩陣對二維高斯分佈的影響。

2、均值和協方差矩陣對二維高斯分佈的影響

2.1 u=(00),Σ=(3003)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

2.2 u=(44),Σ=(3003)$u=\left(\begin{array}{l}44\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

2.3 u=(00),Σ=(30010)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$

2.4 u=(00),Σ=(10.80.81)$u=\left(\begin{array}{l}00\end{array}\right),\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}1& 0.8\\ 0.8& 1\end{array}\right)$

2.5

u=(00),Σ=(1−0.8−0.81

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