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在上一講Deep learning：五(regularized線性回歸練習)中已經介紹了regularization項在線性回歸問題中的應用，這節主要是練習regularization項在logistic回歸中的應用，並使用牛頓法來求解模型的參數。參考的網頁資料為：http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex5/ex5.html。要解決的問題是，給出了具有2個特征的一堆訓練數據集，從該數據的分布可以看出它們並不是非常線性可分的，因此很有必要用更高階的特征來模擬。例如本程序中個就用到了特征值的6次方來求解。

　　實驗基礎：

　　contour:

　　該函數是繪制輪廓線的，比如程序中的contour(u, v, z, [0, 0], ‘LineWidth‘, 2)，指的是在二維平面U-V中繪制曲面z的輪廓，z的值為0，輪廓線寬為2。註意此時的z對應的範圍應該與U和V所表達的範圍相同。因為contour函數是用來等高線，而本實驗中只需畫一條等高線，所以第4個參數裏面的值都是一樣的，這裏為[0,0],0指的是函數值z在0和0之間的等高線(很明顯，只能是一條)。

　　在logistic回歸中，其表達式為：

　　在此問題中，將特征x映射到一個28維的空間中，其x向量映射後為：

　　此時加入了規則項後的系統的損失函數為：

　　對應的牛頓法參數更新方程為：

　　其中：

　　公式中的一些宏觀說明（直接截的原網頁）：

　　實驗結果：

　　原訓練數據點的分布情況：

　　當lambda=0時所求得的分界曲面：

　　當lambda=1時所求得的分界曲面：

　　當lambda=10時所求得的分界曲面：

　　實驗程序代碼：

%載入數據
clc,clear,close all;
x = load(‘ex5Logx.dat‘);
y = load(‘ex5Logy.dat‘);

%畫出數據的分布圖
plot(x(find(y),1),x(find(y),2
 
),‘o‘,‘MarkerFaceColor‘,‘b‘)
hold on;
plot(x(find(y==0),1),x(find(y==0),2),‘r+‘)
legend(‘y=1‘,‘y=0‘)

% Add polynomial features to x by 
% calling the feature mapping function
% provided in separate m-file
x = map_feature(x(:,1), x(:,2)); %map_feature函數是什麽？

[m, n] = size(x);

% Initialize fitting parameters
theta = zeros(n, 1);

% Define the sigmoid function
g = inline(‘1.0 ./ (1.0 + exp(-z))‘); 

% setup for Newton‘s method
MAX_ITR = 15;
J = zeros(MAX_ITR, 1);

% Lambda is the regularization parameter
lambda = 1;%lambda=0,1,10，修改這個地方，運行3次可以得到3種結果。

% Newton‘s Method
for i = 1:MAX_ITR
    % Calculate the hypothesis function
    z = x * theta;
    h = g(z);
    
    % Calculate J (for testing convergence)
    J(i) =(1/m)*sum(-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h))+ ...
    (lambda/(2*m))*norm(theta([2:end]))^2;
    
    % Calculate gradient and hessian.
    G = (lambda/m).*theta; G(1) = 0; % extra term for gradient
    L = (lambda/m).*eye(n); L(1) = 0;% extra term for Hessian
    grad = ((1/m).*x‘ * (h-y)) + G;
    H = ((1/m).*x‘ * diag(h) * diag(1-h) * x) + L;
    
    % Here is the actual update
    theta = theta - H\grad;
  
end
% Show J to determine if algorithm has converged
J
% display the norm of our parameters
norm_theta = norm(theta) 

% Plot the results 
% We will evaluate theta*x over a 
% grid of features and plot the contour 
% where theta*x equals zero

% Here is the grid range
u = linspace(-1, 1.5, 200);
v = linspace(-1, 1.5, 200);

z = zeros(length(u), length(v));
% Evaluate z = theta*x over the grid
for i = 1:length(u)
    for j = 1:length(v)
        z(j,i) = map_feature(u(i), v(j))*theta;%這裏繪制的並不是損失函數與叠代次數之間的曲線，而是線性變換後的值
    end
end
z = z‘; % important to transpose z before calling contour

% Plot z = 0
% Notice you need to specify the range [0, 0]
contour(u, v, z, [0, 0], ‘LineWidth‘, 2)%在z上畫出為0值時的界面，因為為0時剛好概率為0.5，符合要求
legend(‘y = 1‘, ‘y = 0‘, ‘Decision boundary‘)
title(sprintf(‘\\lambda = %g‘, lambda), ‘FontSize‘, 14)


hold off

% Uncomment to plot J
% figure
% plot(0:MAX_ITR-1, J, ‘o--‘, ‘MarkerFaceColor‘, ‘r‘, ‘MarkerSize‘, 8)
% xlabel(‘Iteration‘); ylabel(‘J‘)

疑問： 上文中的map_feature是什麽函數？

六、regularized logisitic regssion練習（轉載）