約數 歐幾裏得算法 int return 由於 數學基礎 mar align apt

Chapter 1. 數學基礎 數論(一)

Sylvia‘s I. 歐幾裏得算法.

歐幾裏德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數（gcd）.

內容：gcd(a,b) = gcd(b,a%b).

證明：設a=kb+r , 則r=a%b；

①設d為a,b的公約數，則有d|a , d|b;

且r=a-kb,故d|r;

所以d也是b , a%b的公約數。

② 設d 是b,a mod b的公約數，則 d|b , d|r ，
因a = kb +r；
所以d也是a , b的公約數

故a , b和b , a mod b的公約數是相同的，因此最大公約數也必然相同。

性質：

①gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

②gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

③gcd(ma,mb)=m*gcd(a,b)

代碼:

int gcd(int a,int b){
   if (!b) return a;
   return (b,a%b);
}

Sylvia‘s Ⅱ.擴展歐幾裏德.

內容：給出 a 和 b，解方程 ax+by=gcd(a,b)

思想：

①求其中一解x,y

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

ax+by=gcd(a,b)

bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)

ax+by=bx′+(a%b)y′ （a%b<=>a-[a/b]*b）

ax+by=bx′+(a??a/b??b)y′

ax+by=ay′+b(x′??a/b??y′)

故x=y′, y=x′??a/b??y′

邊界條件為 gcd(a,0)=a;

②對於其通解，設已求得的一組解為（x₀,y₀）,其他解（x,y）

有ax₀+by₀=ax+by （都等於gcd(a,b)）

變形得a(x₀-x)=b(y-y₀) 兩邊同除gcd(a,b)

設a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b)

則 a‘(x₀-x)=b‘(y-y₀) 此時a‘和b‘必然互質，因此（x₀-x）是b‘的倍數，設（x₀-x）=kb‘ 代入得 y=y₀+a‘k

同理，(y-y₀)是a‘的倍數，設（y-y₀）=ka‘ 代入得 x=x₀-b‘k

所以對於方程ax+by=gcd(a,b)的任意整數解可以寫成

x=x₀-k*b/gcd(a,b)

y=y₀+k*a/gcd(a,b) k取任意整數.

註：①推導過程並未用到“ax+by的右邊是什麽”

②如果gcd(a,b)=0,則意味著a或b等於0，可以特判

代碼：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    } 
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

Sylvia‘s Ⅲ. 模運算.

公式：①(a+b) % p=((a % p) + (b % p)) % p

②(a-b) % p = ((a % p) - (b % p)+p) % p

③(a*b) % p = (a % p) * (b % p) % p

註意：對於公式②，由於(a % p)可能小於(b % p)，所以需要在結果上加上p.

對於公式③，需要註意(a % p) 和 (b % p) 相乘是否會溢出.

Sylvia‘s Ⅳ. 同余.

定義：兩個整數a,b,除以正整數m，若余數相同,則稱"a和b關於模m同余",記作a≡b(mod m)，這叫作同余式.

說明：aΞb(mod m)<=>a=km+b(k取任意整數)<=>m|(a-b)

那麽對於方程ax≡b (mod m),可以理解為(ax-b)為m的倍數，設這個倍數為y，則ax-b=my,m為任意整數，所以可以寫成ax+my=b

該方程有整數解的充要條件是gcd(a,m)|b.

特殊情況：當b=1時，ax≡1 (mod m)的解稱為a關於模m的逆，而對於此方程有解必須滿足gcd(a,m)|1，那麽a和m必須互質（即gcd(a,m)=1），在此種情況下，方程有唯一解.

性質：

①反身性 a≡a (mod m).

②對稱性 若a≡b(mod m)，則b≡a (mod m).

③傳遞性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，則a≡c (mod m).

④ 加法 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則a±c≡b±d (mod m)

特別地，若a≡b (mod m)，則a±k≡b±k (mod m).

⑤乘法 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡bd (mod m) 特別地，若a≡b (mod m)，則ak≡bk (mod m) 反復利用性質⑤，可得若a≡b (mod m)，則a^k≡b^k (mod m). ⑥除法，若ac≡bc (mod m)，則當gcd(c,m)=1時，a≡b (mod m) 當gcd(c,m)=d時，a≡b (mod m/d) 特別地，若ac≡bc (mod mc)，則a≡b (mod m). ⑦若A≡a (mod m1)，A≡a (mod m2)，且gcd(m1,m2)=1，則A≡a (mod m1*m2). 利用此性質可以證明費馬小定理.

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魚麗之宴

木心

”我曾見過生命

都只是行過

無所謂完成“

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Sylvia

二零一七年五月六日

Chapter 1. 數學基礎 數論(一)