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4653: [Noi2016]區間

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Description

在數軸上有 n個閉區間 [l1,r1],[l2,r2],...,[ln,rn]。現在要從中選出 m 個區間，使得這 m個區間共同包含至少一個位置。換句話說，就是使得存在一個 x，使得對於每一個被選中的區間 [li,ri]，都有 li≤x≤ri。 對於一個合法的選取方案，它的花費為被選中的最長區間長度減去被選中的最短區間長度。區間 [li,ri] 的長度定義為 ri−li，即等於它的右端點的值減去左端點的值。 求所有合法方案中最小的花費。如果不存在合法的方案，輸出 −1。

Input

第一行包含兩個正整數 n,m用空格隔開，意義如上文所述。保證 1≤m≤n 接下來 n行，每行表示一個區間，包含用空格隔開的兩個整數 li 和 ri 為該區間的左右端點。 N<=500000,M<=200000,0≤li≤ri≤10^9

Output

只有一行，包含一個正整數，即最小花費。

Sample Input

6 3
3 5
1 2
3 4
2 2
1 5
1 4

Sample Output

2

HINT

Source

　　首先我們考慮暴力怎麽做，按長度排序之後，我們容易發現，如果枚舉一個區間作為左端點，一個區間作為右端點，那麽我們就是求只在這個區間中選取的答案。

　　我們把這一段的所有區間的對應的一段的經過次數都加一，最後只需check一下這一段中是否出現了一個被經過m次的點，一旦存在就說明，我們一定可以找到其中的mm個區間滿足題目的要求，所以我們就可以確保在這個區間中能夠選取m個區間並一定合法，就可以用右端點的那個區間長度-左端點的那個區間長度來更新答案。（並不關心具體選了哪些區間）

　　上述做法的復雜度可以用線段樹維護來做到n2logn。深入思考可以發現，其實右端點肯定是不降的，所以我們沒必要再枚舉一個右端點，只要用單調指針一直往後掃即可。總復雜度為：O(nlogn)。

　　（引自 ljh2000）

#include<cstdio>
#include
 
<algorithm>
#include<cstring>
#define lch k<<1
#define rch k<<1|1
using namespace std;
const int N=1e6+5,M=N<<2;
const int inf=2e9;
int n,m,p,cnt,ans=inf;
int mx[M],tag[M];
struct node{int l,r,len;}a[N>>1];int b[N];
inline bool cmp(const node &x,const node &y){
    return x.len<y.len;
}
inline void opera(int k,int v){
    mx[k]+=v;
}
inline void pushdown(int k,int l,int r){
    if(!tag[k]) return ;
    tag[lch]+=tag[k];opera(lch,tag[k]);
    tag[rch]+=tag[k];opera(rch,tag[k]);
    tag[k]=0;
}
void change(int k,int l,int r,int x,int y,int v){
    if(l==x&&r==y){
        opera(k,v);
        tag[k]+=v;
        return ;
    }
    pushdown(k,l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(y<=mid) change(lch,l,mid,x,y,v);
    else if(x>mid) change(rch,mid+1,r,x,y,v);
    else change(lch,l,mid,x,mid,v),change(rch,mid+1,r,mid+1,y,v);
    mx[k]=max(mx[lch],mx[rch]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r),a[i].len=a[i].r-a[i].l;;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[++cnt]=a[i].l,b[++cnt]=a[i].r;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    sort(b+1,b+cnt+1);cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-(b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].l=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i].l)-b,
        a[i].r=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i].r)-b;
    }
    int top=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(;mx[1]<m&&top<=n;top++){
            change(1,1,cnt,a[top].l,a[top].r,1);
        }
        if(mx[1]==m) ans=min(ans,a[top-1].len-a[i].len);
        change(1,1,cnt,a[i].l,a[i].r,-1);
    }
    printf("%d\n",ans!=inf?ans:-1);
    return 0;
}

[Noi2016]區間[離散化+線段樹維護+決策單調性]