Longest Common Subsequence
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Longest Common Subsequence

Bobo has a sequence A=(a1,a2,…,an) of length n. He would like to know f(0),f(1),f(2) and f(3) where f(k) denotes the number of integer sequences X=(x1,x2,x3) where
 
:

    1≤x1,x2,x3≤m;
    The length of longest common subsequence of A and X is exactly k.

Note:

    u is a subsequence of v if and only if u can be obtained by removing some of the entries from v (possibly none).
    u is common subsequence of v and w if and only if u is subsequence of v and w.

Input

The input contains zero or more test cases and 
 
is terminated by end-of-file. For each case,

The first line contains two integers n,m. The second line contains n integers a1,a2,…,an.

    1≤n≤200
    1≤m,a1,a2,…,an≤106
    The number of tests cases does not exceed 10.

Output

For each case, output four integers which denote f(0),f(1),f(2),f(3).
Sample Input

 
3 3
1 2 2
5 3
1 2 3 2 1

Sample Output

1 14 11 1
0 1 17 9

Note

For the second sample, X=(3,3,3) is the only sequence that the length of longest common subsequence of A and X is 1. Thus, f(1)=1.

Source
XTU OnlineJudge 

/**
題目：Longest Common Subsequence
鏈接：http://202.197.224.59/OnlineJudge2/index.php/Problem/read/id/1265
題意：給定序列A，含n個數。和一個數m；
有一個X序列{x1,x2,x3}，x1,x2,x3來自[1,m]區間內的數。

設：f(k)表示兩個序列的最長公共子序列為k；

求序列X和A滿足f(0),f(1),f(2),f(3)的X各有多少種。

思路：f(0)易求。計算出n個數中在m範圍內的不同數的數量為cnt，然後計算(m-cnt)^3即可。

對n個數中<=m的數，離散化。

要求f(1),f(2),f(3);
f(3)的X序列內的數一定是n個數中獲得。
f(2)的X序列內的數有兩種來源，一種是三個數從n個數中獲得，然後Longest Common Subsequence為2；
另一種是其中兩個是n個數中獲得，然後Longest Common Subsequence為2，另外一個是<=m的不包含n個數的數中獲得。
f(1)的X序列內的數有三種來源，一種是3個數從n個數中獲得，然後Longest Common Subsequence為1；
另一種是兩個數從n個數中獲得，然後Longest Common Subsequence為1；另外一個是是<=m的不包含n個數的數中獲得。
另一種是其中一個是n個數中獲得，然後Longest Common Subsequence為1，另外二個是<=m的不包含n個數的數中獲得。

設：cnt表示n個數中<=m的數。kind表示n個數中<=m的不同數的種類。m-kind表示不包含n個數的數的種數。

枚舉x1,x2,x3全是n個數組成的X序列，所有xi都枚舉所有的n個數。

這些序列包含f(3),f(2)第一種來源，f(1)第一種來源的情況數。計算方法：一種是常規的Longest Common Subsequence 的dp求法，但是總時間復雜度為O(N^4);
更好的做法是：預處理next[i][j]表示i這個位置右邊第一次出現j這個數的位置。那麽可以O(1)判斷X序列的Longest Common Subsequence為k。把它們更新到f(k)中。
flag[a[i]][a[j]][a[k]]表示這個序列可以匹配的最大LCS；取最值，最後遍歷計算即可。

剩下要求f(2)的第二種來源,f(1)的第二種來源和第三種來源。
f(2)第二種來源：三種可能(x1,x2),(x2,x3),(x1,x3)位置，Longest Common Subsequence為2，另一個位置為m-kind中取。 其實情況數是一樣的。f(2) += 3*Q(cnt)*(m-kind);
Q(cnt)表示cnt個數中找到與A序列的Longest Common Subsequence為2的序列數量。暴力枚舉兩個位置，同上面說的方法。

f(1)第二種來源：三種可能(x1,x2),(x2,x3),(x1,x3)位置,但是Longest Common Subsequence為1；另外一個位置從m-kind中取。 f(1) += 3*P(cnt)*(m-kind);
f(1)第三種來源：三種可能x1,x2,x3位置相同，另外兩個位置為m-kind中取。f(1) += 3*kind*(m-kind)*(m-kind);


思考：為什麽要用next[i][j]表示i這個位置右邊第一次出現j這個數的位置。而不是直接next[i][j]表示j這個數是否在i的右邊。
假設： 2 2
那麽枚舉出來2 2 2. 如果用後者所述定義，那麽答案就是3了。實際上只能是2.
*/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn = 1e5+100;
int flag[202][202][202];
int sign[202][202];
int mark[1000005];
int n, m;
int cnt , kind;
LL f[4];
int a[202], z;
int Next[202][202];
set<int> se;
void NextInit()
{
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = i+1; j < z; j++){
            if(Next[i][a[j]]==-1){
                Next[i][a[j]] = j;
            }
        }
    }
}
void lisan()
{
    int cnt = 1;
    set<int>::iterator it;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        mark[*it] = cnt;
        cnt++;
    }
    for(int i = 0; i < z; i++){
        a[i] = mark[a[i]];
    }
}
void init()
{
    memset(f, 0, sizeof f);
    memset(Next, -1, sizeof Next);
    memset(flag, 0, sizeof flag);
    memset(sign, 0, sizeof sign);
    se.clear();
}
int cal(int i,int j,int k)
{
    if(Next[i][a[j]]==j&&Next[j][a[k]]==k) return 3;
    if(Next[i][a[j]]==j) return 2;
    if(Next[j][a[k]]==k) return 2;
    if(Next[i][a[k]]==k) return 2;
    return 1;
}
void solve()
{
    kind = se.size();
    cnt = z;
    LL temp = m-kind;
    f[0] = 1LL*temp*temp*temp;
    ///枚舉三層循環所有序列。
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = 0; j < z; j++){
            for(int k = 0; k < z; k++){
                int len = cal(i,j,k);
                flag[a[i]][a[j]][a[k]] = max(flag[a[i]][a[j]][a[k]],len);
            }
        }
    }

    se.clear();///清空原先沒有離散的數據。
    for(int i = 0; i < z; i++){
        se.insert(a[i]);
    }
    set<int>::iterator it, it1, it2;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        for(it1 = se.begin(); it1!=se.end(); it1++){
            for(it2 = se.begin(); it2!=se.end(); it2++){
                f[flag[*it][*it1][*it2]]++;
            }
        }

    }

    ///枚舉兩層循環.
    int cnt2, cnt1;
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = 0; j < z; j++){
            int len;
            if(Next[i][a[j]]==j) len = 2;
            else len = 1;
            sign[a[i]][a[j]]= max(sign[a[i]][a[j]],len);
        }
    }
    cnt1 = cnt2 = 0;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        for(it1 = se.begin(); it1!=se.end(); it1++){
            if(sign[*it][*it1]==2){
                cnt2++;
            }else cnt1++;
        }
    }

    f[2] += 1LL*3*cnt2*(m-kind);
    f[1] += 1LL*3*cnt1*(m-kind);
    ///f(1)第三種來源;
    f[1] += 1LL*3*kind*(m-kind)*(m-kind);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        z = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d",&a[z]);
            if(a[z]<=m) z++;
        }
        init();
        for(int i = 0; i < z; i++){
            se.insert(a[i]);
        }
        lisan();
        NextInit();
        solve();
        printf("%I64d %I64d %I64d %I64d\n",f[0], f[1], f[2], f[3]);
    }
    return 0;
}

2017-5-14 湘潭市賽 Longest Common Subsequence 想法題