給定兩個點:

typedef struct {

double x, y;

} Point;

Point A1,A2,B1,B2;

首先引入兩個實驗：

a.快速排斥實驗

設以線段A1A2和線段B1B2為對角線的矩形為M,N;

若M,N 不相交，則兩個線段顯然不相交；

所以：滿足第一個條件時：兩個線段可能相交。

b.跨立實驗

如果兩線段相交，則兩線段必然相互跨立對方.若A1A2跨立B1B2，則矢量( A1 - B1 ) 和(A2-B1)位於矢量(B2-B1)的兩側，

即(A1-B1) × (B2-B1) * (A2-B1) × (B2-B1)<0。

上式可改寫成(A1-B1) × (B2-B1) * (B2-B1) × (A2-A1)>0。

應該判斷兩次，即兩條線段都要為直線，判斷另一直線的兩端點是否在它兩邊，若是則兩線段相交。

若積極滿跨立實驗是不行的，如下面的情況：

即兩條線段在同一條直線上。所以我們要同時滿足兩次跨立和快速排斥實驗。

總體分析：

當(A1-B1) × (B2-B1)=0時，說明(A1-B1)和(B2-B1)共線，但是因為已經通過快速排斥試驗，所以 A1一定在線段 B1B2上；同理，(B2-B1)×(A2-B1)=0 說明A2一定在線段B1B2上。所以判斷A1A2跨立B1B2的依據是：(A1-B1) × (B2-B1) * (B2-B1) × (A2-B1) >= 0。

同理判斷B1B2跨立A1A2的依據是：(B1-A1) × (A2-A1) * (A2-A1) × (B2-A1) >= 0。

如圖：

應用：

1. 判斷兩個線段相交

2. 判斷線段與直線相交

3. 判斷點在矩形內

模板題

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 struct line{
 5     double x1,y1,x2,y2;
 6 }p,q;
 
 7 double cross1(line &a,line &b){
 8     return (a.x1-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y1-b.y1)*(b.x2-b.x1);
 9 }
10 double cross2(line &a,line &b){
11     return (a.x2-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y2-b.y1)*(b.x2-b.x1);
12 }
13 bool judge(line &a,line &b){
14     if(max(a.x1,a.x2)>=min(b.x1,b.x2)&&
15         max(a.y1,a.y2)>=min(a.y1,a.y2)&&
16         max(b.x1,b.x2)>=min(a.x1,a.x2)&&
17         max(b.y1,b.y2)>=min(a.y1,a.y2)&&
18         cross1(a,b)*cross2(a,b)<=0&&
19         cross1(b,a)*cross2(b,a)<=0)
20     return true;
21     return false;
22 }
23 int main(){
24     int t;
25     cin>>t;
26     while(t--){
27         cin>>p.x1>>p.y1>>p.x2>>p.y2>>q.x1>>q.y1>>q.x2>>q.y2;
28         if(judge(p,q)) cout<<"Yes\n";
29         else cout<<"No\n";
30     } 
31 }

[51nod1264]線段相交