給定一個字符串，返回該字符串的最長回文子串。回文也就是說 。正著讀和反著讀是一樣的。以下總結了幾種求回文的方式：

方法1 ： 非常easy，枚舉全部的區間 [i,j] ,查看該範圍內是否是一個回文.

時間復雜度 O(n^3),空間復雜度 O(1).

方法2： 方法1的時間復雜度太高，而且存在著大量的反復運算。能夠使用DP來解。而且保存已經檢查過的字符串的狀態.

時間復雜度： O(n^2)。空間復雜度O(n^2).

這裏存在兩種DP的方法，是依據區間來進行DP，還是長度。只是都是大同小異，不改變整個算法的時間復雜度。

代碼例如以下:

//dp 1
string LongestPalindrome(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    bool f[n][n+1];

    fill_n(&f[0][0],n*(n+1),false);
    int start = 0, len = 1;

    f[0][0] = true;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        f[i][0] = true;
        f[i][1] = true;
    }
    for(int i=n-2;i>=0;--i)
    {
        for(int j=2;j<=n && (i+j-1)<n;++j)
        {
            f[i][j] = f[i+1][j-2] && s[i] == s[i+j-1];
            if(f[i][j] && j > len) {start = i; len = j;}
        }
    }

    return s.substr(start,len);
}

//dp 2
string LongestPalindrome_dp2(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    bool f[n][n];

    fill_n(&f[0][0],n*n,false);
    int start=0,len=1;
    f[0][0] = true;

    for(int i=0;i<n;++i)
        f[i][i] = true;

    for(int i = n-1 ; i >= 0; --i)
    {
        for(int j = i+1; j < n;++j)
        {
            if(j == i+1) f[i][j] = (s[i] == s[j]);
            else
                f[i][j] = f[i+1][j-1] && s[i] == s[j];
            if(f[i][j] && (j-i+1) > len) {start = i; len = j-i+1;}
        }
    }

    return s.substr(start,len);
}

時間復雜度 ： O(n^2) 。空間復雜度 ： O(1)

//從中間往兩端延伸（考慮奇數偶數的情況就可以）

string LongestPalindrome_extend(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    int low,high;
    int start=0,len=1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        //even
        low = i-1;
        high = i;
        while(low>=0&&high<n&&s[low]==s[high])
        {
            if(high-low+1>len)
            {
                start=low;
                len=high-low+1;
            }
            --low;++high;
        }
        //odd
        low = i-1;
        high = i+1;
        while(low>=0&&high<n&&s[low]==s[high])
        {
            if(high-low+1 > len)
            {
                start = low;
                len=high-low+1;
            }
            --low;++high;
        }
    }
    return s.substr(start,len); 
}

方法4：使用後綴數組的思想，將字符串s取s的逆，拼接在s的後面，也就是說 如今考察的字符串是 s#s‘。當中的#是額外的一個字符，s‘是s的逆串。求當前這個新拼接而成的字符串的後綴樹組的最長公共前綴。

時間復雜度： O(n^2)，空間復雜度 O(n^2)

//關於此方法還沒想明確。暫不貼代碼

方法5： manacher算法。此算法也就是直接參考的上述的方法3，以每個點為中心，來計算左右能夠延伸的部分，可是這個方案存在冗余的比較，manacher則是利用已經有的信息，盡可能的降低冗余的信息。

詳細請參考 點擊打開鏈接。

以下的圖是我對manacher算法的理解，manacher算法事實上就是計算一個數組。數組中的每個元素表示以當前元素為中心的回文的長度。事實上是非常easy的，僅僅要分情況來討論就能夠了。

對上述的理解，當前須要計算的位置的index為 i，此時的最右端的位置是right，這個right相應的回文的中心為idx。

分兩種情況來討論：

1 right <= i , 也就是最以下的一幅圖，非常顯然之前計算過的回文的信息對於計算此時的 i 的回文是全然沒有幫助的，也就是說。此時 須要以 i 為中心一個一個的去匹配就可以。

2 right > i , 也就是中間3三幅圖的情況，圖中的 j 表示以 idx 為對稱中心的 i 的對稱點的位置， 顯然 j = 2 * id - i 。

這裏又分兩種情況：

1） 假設以 j 為中心的回文子串的左邊界超出了以idx為中心的回文（圖4）。那麽這時的 i 的回文子串的長度除了至少能夠到達right。 至於超出right的部分，僅僅好一個一個的去匹配了。

2） 假設以j為中心的回文子串的左邊界沒有超出以idx為中心的回文。那麽直接就是j的回文的長度就可以。

也就是說， 假設 i > right ，那麽P[right] = 1;

假設 i < right。此時的 P[i] 的值取決於 i 關於 idx 的對稱點 j 的 P[j]的值 。 假設 i + P[j] > right ，那麽P[i] = right-i ,余下的部分一個一個的去匹配。 假設 i + P[j] < right。那麽P[i] = P[j] ,剩下的一個一個去匹配。

時間復雜度 ： O(n), 空間復雜度 O(n).

代碼為：

//Manacher O(n)
string Manacher(const string &str)
{
    //add ‘#‘
    string s = "$";
    for(auto a : str)
    {
        s += ‘#‘;
        s += a;
    }
    s += ‘#‘;
    cout << s << endl;
    const int n = s.size();
    vector<int> P(n,0);
    int right = -1, idx = -1;    //right記錄當前已經計算過的回文的最右邊的邊界(這個邊界是不包括在回文中的)
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        P[i] = (right > i)? min(P[2*idx-i],right-i):1; //這一句就是整個算法的核心！
！
！！

        while(s[i+P[i]] == s[i-P[i]])P[i]++;
        if(i+P[i]>right)
        {
            right = i + P[i];
            idx = i;
        }
    }
    auto pos = max_element(P.begin(),P.end());
    int len = *pos-1;
    string ret;
    int i = pos-P.begin();
    //print
    ret += s[i];
    cout << ret << endl;
    int k=1;
    while(len)
    {
        ret += s[i+k];
        ret = s[i-k]+ret;
        cout << ret << endl;
        ++k;
        --len;
    }
    //trim #
    string ret2;
    for(auto a :ret)
        if(a!=‘#‘)ret2 += a;
    return ret2;
}

最長回文子串的不同解法