編程之美-1的個數
1的數目
題目:給定一個十進制正整數N，寫下從1開始,到N的所有整數，然後數一下其中出現所有“1”的個數。
例如：
N=2，寫下1~2。這樣只出現了1個“1”。
N=12，我們會寫下1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，這樣，1的個數是5。
問題是：
1.寫一個函數F(N)，返回1到N之間出現的“1”的個數，比如F(12)=5;
2.滿足條件“F(N)=N”的最大的N是多少?
我們就先來看看問題1的解法吧；
問題一,解法1：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 int f(int n)
4 {
5 int sum=0;
6 while(n!=0)
7 {
8 sum+=(n%10==1)?1:0;
9 n/=10;
10 }
11 return sum;
12 }
13 int fun(int N)
14 {
15 int count=0;
16 for(int i = 1;i <= N; ++i)
17 {
18 count+=f(i);
19 }
20 return count;
21
22 }
23 int main()
24 {
25 const int N=2;
26 const int M=12;
27 cout << fun(N) <<endl;
28 cout << fun(M) <<endl;
29 return 0;
30 }
問題一，解法2：
#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int N)
{
int count=0,k;
for(int i = 1;i <= N; ++i)
{ k=i;
while(k!=0)
{
if(k%10==1) count++;
k/=10;
}
}
return count;
}
int main()
{
const int N=2;
const int M=12;
cout << fun(N) <<endl;
cout << fun(M) <<endl;
return 0;
}
其實這2種解法的思路都差不多，就是寫法有點不同，解法一是書上的寫法，解法2是我我自己寫的，大家覺得那種好理解就理解那種吧，但是這個算法的致命的是代碼的效率和復雜度
但是我們有沒有考慮過如果N為1個億的數呢。如果我們采用上面的程序來計算的話大概需要40秒的時間才能計算出來，隨著數的不斷增加而計算效率就越來越低了。
那麽我們能不能找個更快的方法來解決這個問題呢？要提高效率我們不能用這種遍歷的方法，要采用另外一種思路，
下面我們來繼續分析下這個思路，我們直接來看三個重點
個位數1的個數 規律:
- 如果N的個位數大於等於1，那麽個位數出現1的個數是十位數+1;
- 如果N的個位數為0，那麽個位數出現1的個數為十位數的數字;
整數 1的個數 1的列舉
5 1 1
15 2 1，11
25 3 1，11，21
35 4 1，11，21，31
十位數1的個數 規律
- 如果N的十位數等於1，那麽十位數出現1的個數是個位數+1;
- 如果N的十位數大於1，那麽十位數出現1的個數為10;
整數 1的個數 1的列舉
25 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
35 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
95 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
125 20 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，110，111，112，...,118，119
725 80 10-19,110-119,210-219,310-319,410-419,510-519,610-619,710-719
3225 330 10-19,20-29,...510-519,610-619,...1010-1019,1110-1119,1210-1219,...,3110-3119,3210-3219
百位數1的個數 規律
如果百位上的數字為0，則可以知道，百位上可能出現1的次數由更高位決定，比如12 013，則可以知道百位出現1的情況可能是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有1 200個。也就是由更高位數字（12）決定，並且等於更高位數字（12）×當前位數（100）。
如果百位上的數字為1，則可以知道，百位上可能出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對於12 113，受更高位影響，百位出現1的情況是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共1 200個，和上面第一種情況一樣，等於更高位數字（12）×當前位數（100）。但是它還受低位影響，百位出現1的情況是12 100～12 113，一共114個，等於低位數字（123）+1。
如果百位上數字大於1（即為2~9），則百位上可能出現1的次數也僅由更高位決定，比如12 213，則百位出現1的可能性為：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有1 300個，並且等於更高位數字+1（12+1）×當前位數（100）。
通過上面的分析和總結 我們可以寫出如下代碼:
1 LONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) 2 3 { 4 5 ULONGLONG iCount = 0; 6 7 8 ULONGLONG iFactor = 1; 9 10 11 ULONGLONG iLowerNum = 0; 12 13 ULONGLONG iCurrNum = 0; 14 15 ULONGLONG iHigherNum = 0; 16 17 18 while(n / iFactor != 0) 19 20 { 21 22 iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor; 23 24 iCurrNum = (n / iFactor) % 10; 25 26 iHigherNum = n / (iFactor * 10); 27 28 29 switch(iCurrNum) 30 31 { 32 33 case 0: 34 35 iCount += iHigherNum * iFactor; 36 37 break; 38 39 case 1: 40 41 iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1; 42 43 break; 44 45 default: 46 47 iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor; 48 49 break; 50 51 } 52 53 54 iFactor *= 10; 55 56 } 57 58 59 return iCount; 60 61 62 }
這個方法只要分析N就可以得到f（N），避開了從1到N的遍歷，輸入長度為Len的數字N的時間復雜度為O（Len），即為O（ln（n）/ln（10）+1）。在筆者的計算機上，計算N=100 000 000，相對於第一種方法的40秒時間，這種算法不到1毫秒就可以返回結果，速度至少提高了40 000倍。
PS：題目和思路來自於編程之美，編程之美書籍是一本不錯的書，裏面涉及了很多算法和面試知識等等，喜歡編程的朋友可以去買來看看 是個不錯的選擇， 好了今天就寫到這裏吧，在後面我還會一直分析些有趣的算法，喜歡的點個關註吧。
編程之美-1的個數