數字圖像處理之傅裏葉變換

by方陽

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1. 前言

今天將之前學的數字圖像處理的東西放到博客園裏，所以下面會有連續幾篇的博客都是關於數字圖像處理的！

這篇博客將介紹圖像的快速傅裏葉變換，逆變換以及圖像的平移變換的實現，理論的知識還請看書和百度，這裏不再復述。

2. 原理說明

（1） 圖像的二維FFT變換可以觀察圖像的頻譜，再進行逆變換即可復原圖像；

（2） 圖像的平移性：圖像在空間域乘以-1^(x+y),再進行傅裏葉變換，即可看出圖像的頻譜圖在x和y周平移了半個周期，原因是-1^(x+y)傅裏葉變換表現復指數函數，相當於頻譜的平移；

3. 實現內容

（1） 選擇一幅圖像，顯示傅裏葉變換頻譜。再對得到傅裏葉圖像做傅裏葉逆變換，顯示圖像，觀察是否與原圖像相同。

（2） 圖像做傅裏葉變換的平移性證明，將頻譜中心移至中央。

4. 程序實現及實驗結果

(1) 圖像的傅裏葉變換與反變換

參考代碼：

I=imread(‘lena.bmp‘);
I_2D=D3_To_D2(I);
I1=fft2(I_2D);
I2=uint8(real(ifft2(I1)));
I1=log(1+abs(fftshift(I1)));
figure;
subplot(1,3,1);
imshow(I);
title(‘原圖‘);
subplot(1,3,2);
imshow(I1,[]);
title(‘fft2後的頻譜‘);
subplot(1,3,3);
imshow(I2,[]);
title(‘ifft2後的復原圖像‘);

D3_To_D2函數（將三維降二維）參考代碼：

function image_out=D3_To_D2(image_in)
[m,n]=size(image_in);
 n=n/3;%由於我的灰度圖像是185x194x3的，所以除了3，你們如果是PxQ的，就不要加了
 A=zeros(m,n);%構造矩陣
 for i=1:m
     for j=1:n
        A(i,j)= image_in(i,j);%填充圖像到A
     end
 end
image_out=uint8(A);

運行結果：

（2）平移驗證

參考代碼：

f(1000,1000)=0;
f=mat2gray(f);
[Y,X]=meshgrid(1:1000,1:1000);
f(350:649,475:524)=1;
f2=f.*(-1).^(X+Y);
f1=fft2(f);
f1_1=abs(f1);
f2=fft2(f2);
f3=log(1+abs(f2));
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(f);
title(‘原圖‘);
subplot(2,2,2);
imshow(f1_1,[]);
title(‘fft2後的頻譜‘);
subplot(2,2,3);
imshow(abs(f2),[]);
title(‘中心化‘);
subplot(2,2,4);
imshow(f3,[]);
title(‘對數化‘);

運行結果：

（3）相角復原（新添的）

參考代碼:

I=imread(‘boy.jpg‘);
I=D3_To_D2(I);
I=fft2(I);
I_angle=angle(I);
I4=exp(1i*I_angle);
I4=uint8(ifft2(I4)*256);
I5=ifft2(I);
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(I_angle);
title(‘相角‘);
subplot(2,2,2);
imshow(I4,[]);
title(‘相角復原後的圖像‘);
subplot(2,2,3);
imshow(I5,[]);
title(‘譜復原後的圖像‘);

運行結果：

五． 結果分析

1.由第一個圖可以看出，圖像經過傅裏葉變換再經過傅裏葉反變換是可以還原出原圖像的。

2.由第二個圖可以看出，圖像的平移性對觀察圖像的傅裏葉頻譜很有幫助，圖像的頻譜經過平移，低頻聚集在中心，易於觀察，對頻譜進行對數化可以更加直觀看圖像的頻譜分布。

3.由第三個圖可以看出，相角決定圖像的細節。

數字圖像處理之傅裏葉變換