Given a 2D binary matrix filled with 0‘s and 1‘s, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

PS：將其化解為柱狀圖求最大體積的問題。先用動態規劃的思路，將矩形中垂直方向的連續1的數量進行計算。

而後逐行掃描，並在掃描時將其轉化為柱狀圖求體積。

即若高度一直增加，則持續壓入棧，當出現h[i]<棧頂高度時，則出棧，並計算出棧元素的所在矩形的體積。持續計算直到棧頂元素高度小於h[i]，則將h[i]壓棧。

註意：計算時需要在原始數據隊尾加入0以使得掃描繼續到最後一個元素。此時隊列長度為n+1，最大寬度n。

計算矩形時，寬度為i-s.top-1,若棧內無元素，則表明h[i]之前的所有元素的高度都<h[i]，則寬度為i。

首先我們看一下下面的例子：

height的內容是 [5,6,7,8,3]，特點是除了最後一個，前面全部保持遞增，且最後一個立柱的高度小於前面所有立柱高度。

對於這種特點的柱狀圖，如果使用上面所說的“挨個使用每一個柱狀圖的高度作為矩形的高度，求面積”的方法，還需要用嵌套循環嗎？

我們知道除了最後一個，從第一個到倒數第二個立柱的高度都在升高，那麽如果挨個使用每一個柱的高度作為矩形的高度，那麽依次能得到的矩形的寬度就可以直接算出來：使用5作為高度可以使用前四個立柱組成 4*5的矩形，高度6可以組成3*6的矩形... 因此只需要遍歷一次，選出最大面積即可。

對於這種類型的柱狀圖，最大矩形面積的時間復雜度是O(n)。

我們將這種特點的柱狀圖稱為“波峰圖”。

下面介紹新的解法的步驟：

(1) 在height尾部添加一個0，也就是一個高度為0的立柱。作用是在最後也能湊成上面提的那種“波峰圖”。

(2) 定義了一個stack，然後遍歷時如果height[i] 大於stack.top()，進棧。反之，出棧直到棧頂元素小於height[i]。

由於出棧的這些元素高度都是遞增的，我們可以求出這些立柱中所圍成的最大矩形。更妙的是，由於這些被彈出的立柱處於“波峰”之上(比如彈出i 到 i+k，那麽所有這些立柱的高度都高於 i-1和 i+k+1的高度)，因此，如果我們使用之前所提的“左右延伸找立柱”的思路解，以這些立柱的高度作為整個矩形的高度時，左右延伸出的矩形所包含的立柱不會超出這段“波峰”，因為波峰外的立柱高度都比他們低。“波峰圖”其實就是求解最大矩形的“孤島”，它不會幹擾到外部。

(3) 由於比height[i]大的元素都出完了，height[i]又比棧頂元素大了，因此再次進棧。如此往復，直到遍歷到最後那個高度為0的柱，觸發最後的彈出以及最後一次面積的計算，此後stack為空。

(4) 返回面積最大值。

棧中存的不是高度，而是height的索引，這樣做的好處是不會影響寬度的計算，索引值相減 = 寬度。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix) {
 4         int m=matrix.size();
 5         int n=matrix[0].size();
 6         if(m<1||n<1) return 0;
 7         vector<vector<int>> v(m,vector<int>(n,0));
 8         for(int i=0;i<n;i++)
 9             v[0][i]=matrix[0][i]==‘1‘;
10         for(int i=0;i<n;i++){
11             for(int j=1;j<m;j++){
12                 v[j][i]=matrix[j][i]==‘1‘?v[j-1][i]+1:0;
13             }
14         }
15         int max=0;
16         for(int i=0;i<m;i++){
17             int tmp=sol(v[i]);
18             if(tmp>max) max=tmp;
19         }
20         return max;
21     }
22     int sol(vector<int> v){
23         v.push_back(0);
24         int n=v.size();
25         stack<int> s;
26         int res=0;
27         for(int i=0;i<n;i++){
28             while(!s.empty()&&v[s.top()]>=v[i]){
29                 int index=s.top();
30                 s.pop();
31                 int max=v[index]*(s.empty()?i:(i-s.top()-1));
32                 if(max>res) res=max;
33             }
34             s.push(i);
35         }
36         return res;
37     }
38 };

maximal-rectangle——找出最大矩形的面積