最近在看哈工大教授冉啟文的小波分析的視頻，講的非常好，推薦給大家。

這裏是第一講筆記。

第一講：小波產生的背景和歷史

一、“點”的概念（重要）

1、以前我們認為在一維空間，點就是一個數；在二維空間，點就是兩個數(x,y)，N維空間的點 (x0,x1...xn)以此類推。

2、線性代數就是在研究3個事情。

（1）線性空間上的點怎麽表達

（2）點怎麽巧妙的表達

（3）同一個點在不同“基”之下的表示方法之間有什麽關系。

3、把N維空間所有點都直接表示出來是不可能的，所以引入了“基”的概念：用更少的資源把要表達的對象全部表達出來的方法。

4、對於同樣一個點（信號），針對不同的問題，應該采用不同的基。

5、不同“基”之間的轉換關系是一個轉換矩陣，而且是一個可逆的矩陣！而且，把一個標準正交基轉化為另一個標準正交基的矩陣就是正交矩陣。如果都是標準正交基的話，一個向量的長度是不會變的！

6、復雜的點：

（1）點 = 數列

P（......x-1,x0,x1.......xn） 這些點平方可和，也就是能量有限

（2）進一步復雜：點 = 函數

如果讓你表示一個N維的點，要如何表達呢？如何表達才讓別人容易接受。這個N維空間的點太抽象了，無法 像二維，3維那樣簡單的作圖。所以這時候就要引入 點=函數這個概念，用函數來表示N維的點，即將空間的“基”看作橫坐標，縱坐標為幅值，那麽將這些點連起來，就是一條折線。那麽這條折線就代表這個N維空間中的一個點。

7、點 = 函數

（1）周期函數

常見的就是f(x+2pi) = f(x)

且f(x)在一個周期內能量有限

(0,2pi)的空間內點的表達

（2）非周期函數

f(x)在正負無窮內能量有限

(-∞,+∞)的空間內點的表達

8、傅裏葉分析

1807年傅裏葉提出。

對調和分析的推動作用在於，當我們想要分析一個函數時，如果這個函數很難分析，我們可以轉化一下這個函數的基去分析，就像我們在線性代數中對點的分析一樣。

9、傅裏葉變換

1908（1910） Haar構造了一個函數h(t),具體請參考相關資料。但是當時未引起任何註意，直到1980年之後的小波盛行。

他這說明了傅裏葉變換其實沒什麽特別有意義的東西，傅裏葉變換只是使用了三角函數作為基，而我完全可以使用其他函數作為基嘛，比如h(t)

10、加窗傅裏葉變換

（1） 意義：f（t）在時間點 t0 附近的頻率成分(Gabor 1946) -------局部頻率的概念，悖論：瞬時頻率，只出現一下，算是無限高的頻率還是某個頻率呢？

（2）加窗傅裏葉的問題：窗的寬度與頻率的不匹配，高頻窄窗，低頻寬窗。

（3）1978年解決了上述問題

（4）1980‘s Morlet小波。

11、傅裏葉變換的缺陷

只能判斷信號中有這個頻率，卻不能判斷這個頻率出現的時間。那麽加窗傅裏葉呢？下回分析

小波分析筆記一：小波產生的背景和歷史